Further notes on the Stieltjes integral. (Q1439408)

\textit{W. H. Young} hat (Proceedings L. M. S. (2) 13 (1914), 109-150, besonders S. 113; F. d. M. 45, 446 (JFM 45.0446.*)-447) das nach ihm benannte Kriterium für die Existenz des \textit{Stieltjes}schen Integrals gegeben: Wenn \(\varphi (x)\) von beschränkter Variation ist. so ist für die Existenz des Integrals \(\int\limits_a^b f(x)\, d \varphi (x)\) notwendig und hinreichend, daß die Variation von \(\varphi (x)\) auf der Punktmenge, auf der \(f(x)\) unstetig ist, gleich Null ist. Verf. gibt neue Bedingungen, teils notwendige, teils hinreichende, für die Existenz des \textit{Stieltjes}schen Integrals in besonderen Fällen, von denen einige genannt seien: 1. Eine notwendige Bedingung für die Existenz des \textit{Stieltjes}schen Integrals \(\int\limits_a^b f(x)\, d \varphi (x)\) ist die folgende: Wenn \(\delta\) gegeben ist, so kann man \(\eta\) so bestimmen, daß für jede beliebige Unterteilung des Intervalls \((a, b)\) in eine endliche Menge von Teilintervallen \(\varDelta_r\), deren Längen nicht größer als \(\eta\) sind, \[ \sum (F_r - f_r)| \varDelta_r \varphi | < \delta \] ist. Dabei sind \(F_r\) und \(f_r\) bzw. die obere und die untere Schranke von \(f (x)\) in \(\varDelta_r\). 2. Wenn \( \varphi (x)\) von beschränkter Variation ist, so ist die eben genannte Bedingung hinreichend und notwendig. 3. Ist \(\varphi (x)\) von beschränkter Variation, ist ferner \(\varPhi (x)\) die totale Variation von \(\varphi (x)\) im Intervalle \((a, x)\), und existiert das Integral \(\int\limits_a^b f(x)\, d \varphi (x)\), dann existiert auch \(\int\limits_a^x |f(x)|\, d \varPhi (x)\) und ist gleich der totalen Variation von \(\int\limits_a^x f(x)\, d \varphi (x)\) im Intervall \((a, x)\), wobei \(a \leqq x \leqq b\) ist. Zwei später hinzugefügte Notizen des Verf. behandeln noch einige Besonderheiten, u. a. eine Bemerkung über eine von \textit{Rosalind Cecily Young} aufgestellte Bedingung.