Sur la représentation des fonctions par des polynomes à coefficients qui appartiennent à un ensemble donné dénombrable. (Q1439415)

\textit{I. Chlodowsky} hat die Frage untersucht, wann eine im offenen Intervall (0, 1) definierte eindeutige Funktion als Grenzwert einer Reihe oder Folge von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten dargestellt werden kann (1925; F. d. M. 51, 210 (JFM 51.0210.*)). Verf. verallgemeinert hier diese Fragestellung, indem er als Koeffizientenbereich für die Polynome allgemeinere Mengen von folgender Art zuläßt: \(E\) sei abzählbar, und es gebe eine Konstante \(l\), so daß jedes Intervall der Länge \(l\) wenigstens eine Zahl aus \(E\) enthält (``ensemble dispersé au plus sur la distance \(l\)''). In diesem Falle ist zwar, da \(E\) sich bei Addition im allgemeinen nicht reproduziert, die Frage nach der Darstellung durch eine Reihe von Polynomen von der nach der Darstellung durch eine Folge formal verschieden, sie läßt sich aber noch immer leicht auf diese zurückführen. Verf. beweist: Jede in (0,1) definierte Funktion, die höchstens zur ersten \textit{Baire}schen Klasse gehört (also durch eine Reihe oder Folge von Polynomen mit reellen Koeffizienten approximiert werden kann), läßt sich als Grenzwert sowohl einer Reihe als auch einer Folge von Polynomen mit Koeffizienten aus \(E\) in (0, l ) approximieren. Der Beweis beruht darauf, daß sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten unter der Voraussetzung, daß \(E\) die Null enthält (von der sich Verf. nachträglich wieder befreit), in jedem abgeschlossenen in (0,1) enthaltenen Intervall gleichmäßig durch Polynome mit Koeffizienten aus \(E\) approximieren läßt.