Sur les transformations biunivoques des complémentaires analytiques par les fonctions continues. (Q1439416)

Verf. untersucht die folgende von \textit{Lusin} herrührende Frage: \(f (x)\) sei im abgeschlossenen Intervall \(\langle 0,1\rangle\) definiert und stetig; es gebe in \(\langle0,1\rangle\) eine Menge \(E\) vom Typus \(C A\) (Komplement einer \(A\)-Menge), so daß \(f (x)\) in verschiedenen Punkten von \(E\) niemals gleiche Werte annimmt; \(f (E)\) sei die Menge der Werte von \(f (x)\) in \(E\). Die Beschaffenheit von \( f (E)\) ist zu untersuchen, insbesondere ist festzustellen, ob \(f (E)\) immer vom Typus \(C A\) ist. Verf. bezeichnet eine Menge, die bei geeigneter Wahl von \(f\) und \(E\) mit den genannten Voraussetzungen ein \(f (E)\) ist, als \(M\)-Menge, ferner eine (lineare) Menge, die eineindeutiges und (in einer Richtung) stetiges Bild einer (linearen) Menge vom Typus \(C A\) ist, als \(N\)-Menge. Es wird gezeigt: Dann und nur dann ist eme Menge \(M\)-Menge, wenn sie \(N\)-Menge ist. Verf. weist schließlich darauf hin, daß das Verfahren, mit dem \textit{Mazurkiewicz } (Fundamenta 10 (1927), 172-174; F. d. M. 53, 173 (JFM 53.0173.*)) eine ebene Menge vom Typus \(C A \) konstruiert hat, deren (eineindeutige) Projektion auf eine Gerade nicht vom Typus \(C A \) ist, in Verbindung mit der Beweismethode der vorliegenden Note zur Konstruktion einer \(N\)-Menge führt, die nicht vom Typus \(C A\) ist. Ferner werden noch zwei andere Ergebnisse in dieser Richtung ohne Beweis angegeben. (II.)