Sur les fonctions implicitement continues. (Q1439418)

Sind insbesondere die Funktionen \(\varphi_\tau (x_1, \dots, x_p, y, z_1,\dots, z_r)\) des im vorstehenden Referat mit (*) bezeichneten Systems überall definiert und stetig, so heißt \(y = f(x_1, \dots, x_p) \) implicite stetig. Verf. zeigt: (1) Dann und nur dann ist eine uniforme Funktion \(y = f(x_1, \dots, x_p)\) implicite stetig, wenn ihr Bild eine \(F_\sigma\)-Menge ist. (2) Wenn die Funktionen \(\psi_\tau\) des Gleichungssystems (*) implicite stetig sind und \(f\) uniform ist, so ist \(f\) ebenfalls implicite stetig. (3) Dann und nur dann ist eine uniforme Funktion f implicite stetig, wenn ihr Definitionsbereich eine \(F_\sigma\)-Menge ist, und wenn in jeder abgeschlossenen im Definitionsbereich von \(f\) enthaltenen Menge \(F\) die Menge der Unstetigkeitsstellen von \(f\) (als Funktion in \(F\) betrachtet) nirgends dicht ist. (4) Dann und nur dann ist eine uniforme Funktion \(f\) implicite stetig, wenn sie in einer \(F_\sigma\)-Menge definiert ist, und wenn in jeder abgeschlossenen Teilmenge \(F\) des Definitionsbereiches von \(f\) die Menge der Unterstetigkeitsstellen von \(f\) durch folgenden Prozeß ''ausgeschöpft'' werden kann: Man setze \(F_0 = F\); ist \(\alpha\) keine Limeszahl, so nehme man für \(F_\alpha\) die Menge der Unstetigkeitsstellen von \(f\) auf \(F_{\alpha- 1}\), ist \(\alpha\) Limeszahl, so nehme man für \(F_\alpha\) den Durchschnitt aller \(F_\beta\), \(\beta < \alpha\). (Die Exhaustionsbedingung besagt dann: Es soll ein \(\gamma\) geben, für das \(F_\gamma = 0\) ist.) (II.)