Sur les suites de fonctions holomorphes. Les suites correspondantes des fonctions dérivées. Fonctions entières. (Q1439453)

Es wird die Frage behandelt: Unter welchen Bedingungen folgt aus der Normalität einer Schar \(\{F\}\) analytischer Funktionen die Normalität der Schar \(\{F^\prime\}\) der Derivierten? Der Schar \(\{F\}\) wird eine gewisse Schar harmonischer Funktionen \(N \{F\}\), der ``Kern von \(\{F\}\)'', zugeordnet; der folgende Satz wird bewiesen: Wenn die Folge \(\{F_n\}\) gleichmäßig gegen \(\infty\) konvergiert, und wenn \(N\{F_n\}\) nicht die Konstante 1 enthält, so konvergiert auch die Folge der \(k\)-ten Derivierten \(\{F_n^k\}\) gegen \(\infty\) (\(k= 1, 2,\dots\)). Unter Benutzung des Begriffes des Kernes wird ein spezieller Fall der Normalität als ``Normalität \(P\)'' ausgezeichnet. Aus dem obigen Satz ergibt sich: Ist \(\{F\}\) normal \(P\), so auch \(\{F^k\}\). Als weitere Folgerungen werden einige neue Tatsachen abgeleitet, die dem Ideenkreise des \textit{Picard}schen Satzes angehören. Die Arbeit schließt mit einer numerischen Abschätzung gewisser Konstanten, die im Laufe der Untersuchung auftraten.