Eine Verallgemeinerung der Eulerschen Reihentransformation. (Q1439458)

Im ersten Teil der Arbeit beschäftigt sich Verf. mit den sogenannten \(E\)-Transformationen. Es sei \[ f(z) = \sum_0^\infty a_n z^n \] eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius 1. Man setze für \(z\) eine Funktion \[ x = E(z,y) = \sum_0^\infty \gamma_\nu (z) y^\nu, \quad E(z, 1) \equiv z, \] ein, ordne nach Potenzen von \(y\): \[ f(E(z,y)) = \sum_0^\infty F_\nu (z) y^\nu \] und setze \(y = 1\). Die so formal erhaltene Reihe \(\sum F_\nu (z)\) stellt unter geeigneten Voraussetzungen über \(E\) in einem gewissen Bereich die analytische Fortsetzung der ursprünglichen Reihe dar. (Vgl. auch \textit{O. Perron}, 1923; F. d. M. 49, 234 (JFM 49.0234.*)-235.) Als ersten Hauptsatz gibt Verf. Bedingungen für \(E\) an, die eine genaue Bestimmung des Konvergenzbereiches der transformierten Reihe gestatten. Unter sehr viel schwächeren Voraussetzungen kann man, was für die Anwendungen wichtig ist, immer noch die Konvergenz in einem gewissen Bereich erschließen, der eventuell nur einen Teil des gesamten Konvergenzbereichs ausmacht (zweiter Hauptsatz): \(E\) sei für \(z \subset \mathfrak B\) im Einheitskreis \(| y | \leqq 1\) analytisch und möge diesen eindeutig auf ein Gebiet \(\mathfrak G(z)\) abbilden. Es sei \(E (z, 1) \equiv z\). Dann konvergiert die transformierte Reihe für alle Punkte \(z \subset \mathfrak B\), für die \(| \gamma_0 (z) | < 1\) und \(f (z)\) im Innern und auf dem Rande von \(\mathfrak G(z)\) regulär ist, und stellt dort die analytische Fortsetzung von \(f (z)\) dar, die sich vom Punkte \(\gamma_0 (z)\) aus längs des durch \(E (z, y)\) vermittelten Bildes der Strecke \(0 \leqq y \leqq 1\) ergibt. Es wird nun weiter von \(E\) verlangt: \(\mathfrak G(z)\) enthalte den Punkt \(+1\) im Innern, sobald \(z\) reell und \(1 < z < 1 + \varepsilon\) ist, wo \( \varepsilon > 0\) nur von \(E\) abhängt; umgekehrt soll man zu jeder Umgebung \(\mathfrak U\) von \(+ 1\) ein \(\delta > 0\) so wählen können, daß \(\mathfrak G(z)\) für \(1 < z < 1 + \delta\) samt seinem Rand im Innern der Vereinigungsmenge von Einheitskreis und \(\mathfrak U\) liegt. Dann gilt Satz (*), der die Brücke zu den funktionentheoretischen Anwendungen schlägt: Divergiert \(E\) für jedes noch so kleine \(\eta\) in mindestens einem Punkt des Intervalls \(1< z < 1 + \eta\), so ist \(+1\) ein singulärer Punkt von \(f (z)\). Im zweiten Teil wird die spezielle \(E\)-Transformation \[ E (z, y) = [z_0 + (z - z_0) y] y^k \qquad (z_0 \;\text{ reell}, 0< z_0 < 1, \;k > 0 \;\text{ und ganz}) \] untersucht, auf die der zweite Hauptsatz und Satz (*) anwendbar sind. Mit Hilfe dieser Transformation werden der \textit{Hadamard}sche Lückensatz und der Satz von \textit{Vivanti-Borel-Dienes} in der scharfen \textit{Kößler}schen Fassung (Rendiconti Accad. d. L. Roma (5) \(32_1\) (1923), 26-29, 83-85, 528-531; F. d. M. 49, 236 (JFM 49.0236.*)) bewiesen. Im dritten Teil wird gezeigt, daß der \textit{Fabry}sche Lückensatz nicht wie der \textit{Hadamard}sche Lückensatz allein mit Hilfe einer \(E\)-Transformation bewiesen werden können. Die inhaltreiche Arbeit schließt mit gewissen Verallgemeinerungen der genannten Singularitätensätze. (IV 2.)