Sur un théorème de M. Julia étendant le lemme de Schwarz. (Q1439470)

Die Arbeit schließt sich an die vorstehend besprochene von \textit{Landau} und \textit{Valiron} an; der erste Teil des dort bewiesenen Satzes wird (im Zusammenhang mit Arbeiten von \textit{Littlewood} und \textit{Rogosinski}) für positives \(c\) ergänzt: Die in der Halbebene \(x > 0\) reguläre Funktion \(\zeta = \varPsi (z)\) bilde diese schlicht auf ein Gebiet \(\varDelta\) der Halbebene \(\mathfrak R \zeta > 0\) ab, so daß \[ \lim_{x \to \infty} \frac { \varPsi (x)}{x} = 1 \tag{1} \] ist. Es sei \(\delta (x)\) die untere Grenze von \(\mathfrak R \varPsi (z)\) für \(\mathfrak R z \geqq x\). Dann gilt: Ist die Funktion \(\zeta = \varphi (z)\) regulär in der Halbebene \(x > 0\), und bildet sie diese auf ein Teilgebiet von \(\varDelta\) ab, ist ferner für eine ins Unendliche strebende Punktfolge \(x_i\) \[ \lim \frac {\varphi(x_i)}{x_i} = c > 0, \tag{2} \] so ist \(\mathfrak R \varphi (z) \geqq \delta (cx)\). Ist die Bedingung (2) erfüllt, so ist \( \varphi (z)\) in Winkelräumen mit beliebig nahe an \(\pi\) grenzenden Öffnungen schlicht. Es werden noch weitere Eigenschaften der Gebiete \( \varDelta\) und Bedingungen für die Existenz von Funktionen \( \varPsi \), die (1) erfüllen, mitgeteilt.