Über die Abschätzung der Koeffizientensumme Dirichletscher Reihen. (Q1439500)

Die Summe \(A(x)=\sum\limits_{n < x} a_n\) einer \textit{Dirichlet}-Reihe \( \sum\limits_{n =1}^\infty a_nn^{-s}\) wird unter Voraussetzungen abgeschätzt, die nicht die Fortsetzbarkeit der etwa in \(\sigma > 1\) analytischen Funktion \(a(s)\) fordern und geschmeidigere Voraussetzungen über ihre Größenordnung machen. Z. B. \(P(x) = \sum p_m x^m\) sei eine für alle \(x\) konvergente Reihe. Für \(x \to +\infty\) wachse \(P (x)\) langsamer als jede Potenz von \(e^x\). Dann soll in \(\sigma > 1\) \[ \left| P \left( - \frac {d}{ds} \right)_a \right| = \left| \sum_{m=0}^\infty (-1)^m p_m a^{(m)} (s) \right| < c^\prime \cdot |s|^c \] sein. Am Schluß wird gezeigt, wie sich die Beweise ohne Verwendung funktionentheoretischer Hilfsmittel führen lassen.