Sur la recherche des points singuliers d'une série de Dirichlet. (Q1439502)

Beweis mehrerer Sätze von der Art des folgenden, wobei \(s = \sigma + it\) ist: Wenn die durch die Reihe \(\sum e^{-\lambda_n s}\) definierte Funktion \(\varphi (s)\) für \(\sigma > \sigma_1\) der Bedingung \[ \varphi (s) = O (|t|^\mu) \qquad (\mu < k) \tag{"(}\(\alpha\))" \] genügt und die singulären Punkte \(\beta\) hat, wenn ferner die Reihe \(\sum a_ne^{-sn}\) die Konvergenzabszisse \(C\) und die singulären Punkte \(\alpha\) hat, so sind die singulären Punkte der durch die Reihe \[ \sum b_n e^{-\lambda_n s}, \quad \text{ wo } b_n = \sum_{m < \lambda_n} \left( 1 - \frac m{\lambda_n} \right)^k a_m, \] definierten Funktion in der Halbebene \( \sigma > \sigma_1 + \text{ Max } (C, 0)\) nur unter den Punkten \(\alpha + \beta\) und \(\beta\) zu suchen. Läßt man die Bedingung \((\alpha)\) weg, so können noch gewisse Punkte \(P\) hinzutreten, die folgendermaßen definiert sind: In jeder Umgebung von \(P \) gibt es für jedes \(\alpha\) mit höchstens einer Ausnahme einen Punkt der Form \(\alpha + \varrho_a\), wobei \(\varphi (\varrho_a) = a\) ist.