Euler-Bernoullische Reihen. (Q1439507)

Die Arbeit ist ein verkürzter Abdruck der Frankfurter Habilitationsschrift des Verf. ``\textit{Die \(\dots\) Entwicklungen stellen einen Versuch dar, aus der elementaren Theorie der Bernoullischen Polynome Gewinn zu ziehen für die analytische Theorie der \(\zeta\)-Funktionen, wie sie in der höheren Arithmetik benötigt wird}.'' Verf. betrachtet zunächst die \textit{Bernoulli}schen Polynome im allgemeinen und leitet neben der klassischen linearen Rekursion, auf Grund deren sich die Polynome sofort explicite aufstellen lassen, und der bekannten Differentiationsformel einige nichtlineare Relationen, insbesondere eine Differenzengleichung, her, in denen die \textit{Bernoulli}schen Zahlen, die Absolutglieder der Polynome, als Werte gewisser mit den Polynomen behafteter Integrale dargestellt erscheinen. Dann werden mit \[ \frac {B_\varkappa (x)}{\varkappa!} \cdot \frac {B_\lambda (x)}{\lambda !}\cdot \dots = b_{\varkappa, \lambda, \dots} (x), \] wo \(B_\varkappa (x)\) das \textit{Bernoulli}sche Polynom \(\varkappa\)-ten Grades in \(x\) bezeichnet und die Indices alle nicht negativen ganzen Zahlen durchlaufen, die Integrale \[ c_{{\varkappa_1}, \dots, \varkappa_m } = \int_0^1 b_{{\varkappa_1}, \dots, \varkappa_m }(x)\,dx \] mit positivem ganzen \(m\) und nicht negativem ganzen \({{\varkappa_1}, \dots, \varkappa_m }\) untersucht. Das Ergebnis hat die Form einer aus Rekursionseigenschaften und ``Ergänzungssätzen'' gewonnenen Tabelle und wird unter Benutzung von Hilfsgrößen formuliert, die mit den \(b_\nu (x)\) in engem Zusammenhang stehen. Für das allgemeine Ergebnis können die die Ergänzungssätze erfordernden Fälle mit \[ \varkappa_1 \varkappa_2 \dots \varkappa_\varrho = 0 \] ausgeschlossen werden, und der Wert \(g\) der Indexsumme, insbesondere seine Parität, ist von ausschlaggebender Bedeutung namentlich für das Verschwinden der \(c\)-Werte. Eine vermittels des \textit{Cauchy}schen Satzes gewonnene Darstellung der \(b_\nu (x)\) durch Integrale nach \(y\) auf einem Weg, der den Nullpunkt der \(y\)-Ebene eng umschlingt, und einige Festsetzungen, u. a. \(0 < x < 1\), die es gestatten, \(\nu\) durch eine kontinuierliche Veränderliche \(\alpha\) zu ersetzen, führen auf eine Funktion \(Z_\alpha (x)\), die für ganzzahlige \(\alpha\) den Werten von \(b_ \alpha (x)\) im Intervall \(0 < x < 1\) entgegengesetzt gleich ist, und die, wie man funktionentheoretisch erkennt, die Entwicklung \[ Z_\alpha (x) = \overset{+\infty}{\underset{\lambda=-\infty}{\sum\nolimits^\prime}} \, \, \frac {e^{2 \pi i \lambda x}}{(2\pi i \lambda)^\alpha} \] im Intervall \(0 < x < 1\) zuläßt, die für kleines positives \(\varepsilon\) in \(\varepsilon < x < 1 - \varepsilon\) gleichmäßig in \(x\) und für \(\alpha \geqq 1\) absolut konvergiert; dabei sind in der \(\sum^\prime\) die sinnlosen Glieder wegzulassen, und für die Nenner der Summanden rechts muß eine Eindeutigkeitsfestsetzung getroffen werden. Diese Entwicklung von \(Z_\alpha (x)\) führt nun auf die Darstellung der ``\textit{Euler}schen Summen'' \(\sum\limits_{\lambda = - \infty}^{+\infty} \lambda^{-\alpha}\) mit ganzem geradem \(\alpha\) vermittels der erwähnten Hilfsgrößen zur Berechnung der \(c\)-Werte, und der eine der hier zum Ziel führenden Wege, ausgehend vom \textit{Parseval}schen Satz, führt auf folgende Verallgemeinerung dieser Darstellung auf ``Quasi-\textit{Euler}sche Summen'': \[ \overset{+\infty}{\underset{\lambda_\varrho =-\infty} {\sum\nolimits^\prime}} \, \dfrac {1}{\lambda_1^{\varkappa_1}\dots \lambda_m^{\varkappa_m} } = (-1)^m c_{\varkappa_1, \dots, \varkappa_m } (2 \pi i)^g \tag{1} \] für ganzes \(m \geqq 2\) und positive ganze \(\varkappa_\varrho \) (\(\varrho=1,\dots, m\)), wo unter der Bedingung \(\lambda_1 + \cdots + \lambda_m = 0\) zu summieren ist; hiervon werden einige Spezialfälle angegeben. Der Zusammenhang mit der Theorie der Zetafunktion ergibt sich nun so: Zunächst werden in der \(\sum^\prime\) die \(\lambda_\varrho\) der Bedingung \((\lambda_1, \dots, \lambda_m) = 1\) unterworfen. Für die entstehenden Summen ergibt sich die Darstellung \[ \sum\nolimits^\prime \frac 1{\lambda_1^{\varkappa_1} \dots \lambda_m^{\varkappa_m}} = (-1)^{m-1} \frac {2c_{\varkappa_1, \dots, \varkappa_m}}{b_g} \tag{2} \] und speziell \[ \sum\nolimits^\prime \frac 1{\lambda_1 \dots \lambda_{2n}} = -\frac {2^{1- 2^n}}{1+2n} \cdot \frac {1}{b_{2n}}, \tag{3} \] wo die \(b_\nu\), die obigen Hilfsgrößen, die Absolutglieder von \(b_\nu (x)\) sind. Nun ist es möglich, auch die Limites der \(c\)-Werte für gegen \(+ \infty\) wachsende Exponenten \(\varkappa_1, \dots, \varkappa_m\) zu untersuchen. Die Zetafunktion läßt nun die Integraldarstellung \[ \zeta (s) = \frac {i \varGamma (1-s)}{2\pi} \int \frac {(-z)^{s-1}}{e^z - 1} \, dz \] zu, wo das Integral in der von 0 nach \(+ \infty\) aufgeschlitzten \(z\)-Ebene, in der \(\log (-z) \) auf der negativen \(z\)-Achse reell erklärt und \[ (-z)^{s-1} = e^{(s-1) \log (-z)} \] gesetzt sei, über einen schleifenartig aus \(+ \infty\) kommenden, den Schlitz möglichst eng in positivem Umlauf umlaufenden Weg zu erstrecken ist; diese Darstellung ist der auf die Funktion \(Z_\alpha (x)\) führenden Darstellung analog gebildet. Daraus läßt sich der Zusammenhang der Theorie von \(\zeta (s)\) mit den Eigenschaften der Folge der \(b_\nu\)-Werte entnehmen, und (3) zeigt, daß insbesondere \(\dfrac 1{\zeta (2n)}\) dabei eine Rolle spielt; weit enger noch ist aber der Zusammenhang im Falle \(m= 3\), wo eine Zahlenfolge entsteht, deren Eigenschaften unmittelbar mit denen von \(\zeta (s)\) im kritischen Streifen zusammenhängen. Dieser Zusammenhang ergibt sich im Anschluß an die Eigenschaften der \textit{Mangoldt}schen Doppelsumme \[ M (n) = \sum_{\nu =1}^n \sum_\lambda e^{2\pi i \tfrac \lambda{\nu}} \qquad ((\nu, \lambda) = 1; \, \, \, 0 < \lambda < \nu ), \tag{4} \] die bei der Untersuchung des reziproken Wertes der Zetafunktion eine Rolle spielt und die Eigenschaft \[ \lim_{n \to \infty} \frac 1n M (n) = 0, \tag{5} \] unter Annahme der \textit{Riemann}schen Vermutung sogar die Eigenschaft \[ \lim_{n \to \infty} n^{-\tfrac 12 - \varepsilon} M (n) = 0 \tag{6} \] für jedes positive \(\varepsilon\) hat. In (2) bedeuten nämlich die Summationsbedingungen \(\lambda_1 + \cdots +\lambda_m= 0\) und \((\lambda_1, \dots, \lambda_m) = 1\) für \(m = 3\) geometrisch, daß im \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\)-Raum diejenigen in der Ebene \[ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3=0 \] gelegenen Gitterpunkte auszuwählen sind, die hell sind, wenn der Nullpunkt \(O\) der Ebene leuchtend gedacht wird. Denkt man sich ferner durch \(O\) eine \((\nu, \lambda)\)-Ebene gelegt, in der \(O\) Nullpunkt des \((\nu, \lambda)\)-Systems sei, so entspricht die Auswahl der Summanden in (3) einer analogen Auswahl der ``hellen'' Gitterpunkte \((\nu, \lambda)\). Insbesondere betrachte man den durch die Ungleichungen \[ 0 \leqq \lambda \leqq \nu \quad \text{ und } \quad 0 < \nu <\infty \] charakterisierten ``ersten Oktanten''. Denkt man sich die Summe in (4) nach wachsenden Werten von \(\dfrac \lambda \nu \) geordnet, so braucht man nur den ``Sektor'' \(0 \leqq \dfrac \lambda\nu \leqq \dfrac 12\) zu betrachten, da die Realität der Summe die nötige Symmetrie garantiert. In diesem Sektor nun hat die asymptotische Bevorzugung der Teilsektoren mit nahe bei 0 oder nahe bei \(\dfrac 12\) gelegenenen Werten des Quotienten \(\dfrac \lambda\nu \) zur Folge, daß \(M (n)\) zu großen positiven bzw. negativen Werten anwächst; ist über (5) hinaus sogar (6) erfüllt, so nennt Verf. die fragliche Gitterpunktmenge ``sektoriell gleichverteilt''. Durch Transformation der \((\nu, \lambda)\)-Ebene und des darin gelegenen Gitterpunktnetzes läßt sie sich mit der \((\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\)-Ebene derart zur Deckung bringen, daß in beiden Ebenen die ``hellen'' Punkte zusammenfallen, und so erkennt man in der Tat den Zusammenhang von (2) für \(m = 3\) und (4) sowie die Tatsache, daß Aussagen über die \(c_{\varkappa_1, \dots, \varkappa_m}\) zugleich Aussagen über \(M (n)\) sind. Zu noch allgemeineren Gebilden gelangt man, wenn man in der \(\sum^\prime\) von der Weglassung der sinnlosen Glieder absieht und z. B. \[ - \frac 1{y-z} + \frac {e^{x(y-z)}}{e^{y-z} - 1} = \sum_{\nu = 0}^\infty b_{\nu+ 1} (x,z) y^\nu \] betrachtet, wo die \(b_{\mu} (x,z)\) in \(x\) ganz und in \(z\) meromorph sind und für \(z=0 \) mit den obigen Funktionen zusammenfallen. Verf. betrachtet insbesondere das entstehende Analogon zu \(Z_\alpha (x)\) und gelangt zu Summationen für weitere Reihentypen von der Gestalt \[ \sum_{-\infty}^{+\infty} \frac 1{(\lambda_1 - u_1)\dots (\lambda_m -u_m)} \qquad (\lambda_1 + \cdots + \lambda_m = 0), \] aus denen durch Differentiation Ähnliches folgt wie oben durch \textit{Parseval}sche Produktintegration und durch Grenzübergang für \(m \to \infty\). Es ergeben sich Beziehungen für weitere Arten von Reihen. Ferner kann man die ``homogene Nebenbedingung'' \(\lambda_1 + \cdots + \lambda_m = 0\) ersetzen durch allgemeinere Summationsbedingungen. So erscheint insbesondere (1) als Teilergebnis weit allgemeinerer Betrachtungen, die z. B. auch die Summen \[ \sum_{-\infty}^{+\infty}{}^\prime\,\, \frac 1{\lambda_1\lambda_2} \quad (\lambda_1\pm \lambda_2 = n) \] zu bestimmen gestatten. Durch allgemeine Untersuchungen dieser Art gelangt Verf. ferner zu einer neuartigen linearen Rekursion zwischen einer ungeraden Anzahl von \textit{Bernoulli}schen Zahlen, die gewissen Einschränkungen unterliegen. \ \ (III 8; IV 6 A, 11.)