Über die Existenz von Repräsentantenbereichen in der Theorie der Abbildung durch Paare von Funktionen zweier komplexen Veränderlichen. (Q1439512)

Um die eineindeutigen, analytischen Abbildungen \[ \begin{matrix} w^\prime = f(w, z), \\ z^\prime =g(w, z) \end{matrix} \] im Raum der komplexen Veränderlichen \(w\) und \(z\) zu übersehen, führt Verf. den Begriff der Klasse vierdimensionaler Bereiche ein: zwei Bereiche liegen in derselben Klasse, wenn sie normiert aufeinander abbildbar sind (d. h. bei der Abbildung der Nullpunkt in sich übergeführt wird und die Ableitungen dort die Werte \(\left( \begin{matrix} 1 \quad 0 \\ 0 \quad1 \end{matrix} \right)\) haben). Jedem Bereich wird nun ein Paar dort regulärer Funktionen \(h_1 (w, z), h_2 (w, z)\) eindeutig zugeordnet. Dieses Paar verhält sich kovariant gegenüber normierten Abbildungen, sodaß, wenn \[ \begin{matrix} w^\prime = h_1 (w, z), \\ z^\prime = h_2 (w, z) \end{matrix} \] eine eineindeutige Abbildung des gegebenen Bereiches \(\mathfrak B\) auf einen Bereich \(\mathfrak B_0\) liefert, durch die den anderen Bereichen der Klasse von \(\mathfrak B\) zugeordneten Funktionenpaare auch eine Abbildung auf \(\mathfrak B_0\), geleistet wird. \(\mathfrak B_0\) ist der Repräsentant der Klasse, in der \(\mathfrak B\) liegt. (Die Repräsentantenbereiche sind definiert als die Bereiche, in denen das Funktionenpaar die Funktionen \(w\) und \(z\) sind, die zugehörige Abbildung also die Identität ist.) Verf. konstruiert das Kovariantenpaar mit Hilfe eines vollständigen Systems von Orthogonalfunktionen, die er in einer früheren Arbeit (vgl. das vorstehende Referat) aufgestellt hat. Das Ergebnis des ersten Teiles seiner Arbeit formuliert Verf. auch so: Eine normierte Abbildung zweier Bereiche aufeinander ist dann und nur dann möglich, wenn ihre Repräsentanten (wie sie nach seinem Verfahren für alle Bereiche aufstellbar sind) übereinstimmen. Im zweiten Teil der Arbeit wird für eine spezielle Klasse von Bereichen eine Verallgemeinerung des \textit{Runge}schen Satzes hergeleitet.