Sull'insieme dei punti singolari di una funzione analitica di piú variabili. (Q1439513)

Während in der klassischen Funktionentheorie die komplexe Ebene stets zweckmäßig so abzuschließen ist, daß alle linearen Transformationen die abgeschlossene Ebene eineindeutig abbilden -- und hier gibt es nur eine solche Möglichkeit --, gibt es im Raume zweier (bzw. mehrerer) komplexen Veränderlichen zur Abschließung grundsätzlich mehrere gleichberechtigte Möglichkeiten. 1.Eine Abschließung, sodaß der Raum durch die Gruppe der Substitutionen: \[ w^\prime = \frac {aw+b}{cw+d}, \quad z^\prime = \frac {a^\prime z + b^\prime}{c^\prime z + d^\prime}, \quad ad-bc, \quad a^\prime d^\prime - b^\prime c^\prime \not= 0 \] eineindeutig in sich übergeführt wird. 2. Eine Abschließung, sodaß der Raum durch die Gruppe der linearen projektiven Transformationen in sich eineindeutig übergeht. Verf. entscheidet sich nach der Erörterung beider Möglichkeiten für die zweite. Unter dieser Voraussetzung beweist er direkt (ohne Zuhilfenahme des Kontinuitätssatzes) eine Verschärfung des \textit{Liouville}schen Satzes: \textit{Wenn eine eindeutige Funktion zweier unabhängigen komplexen Veränderlichen in jedem endlichen und unendlich fernen Punkte einer analytischen Ebene regulär ist, so ist sie eine Konstante}. Der Satz gilt nicht, wenn der Raum, wie unter 1. angegeben, abgeschlossen wird. Als Folgerungen werden noch angegeben: 1. Eine ganze, nicht konstante Funktion ist in jedem unendlich fernen Punkte singular. 2. Eine eindeutige analytische Funktion, die in keinem unendlich fernen Punkte singulär ist, ist eine Konstante.