Mathematische Miszellen. XV: Zur konformen Abbildung einfach zusammenhängender Gebiete. (Q1439516)

Das \textit{Koebe}sche Schmiegungsverfahren zur konformen und schlichten Abbildung eines im Innern des Einheitskreises gelegenen einfach zusammenhängenden Gebiets auf das Innere des Einheitskreises besteht in der sukzessiven Konstruktion von Gebieten \(G_n\) und Abbildungsfunktionen des gegebenen Gebietes auf diese \(G_n\), so daß die \(G_n\) gegen das ganze Kreisinnere, die Abbildungsfunktionen gegen die gesuchte Funktion konvergieren. Die Güte der Konvergenz kann durch den Radius \(\varrho_n\) des größten Kreises um den Nullpunkt innerhalb \(G_n\) gemessen werden. In der vorliegenden Arbeit wird \[ 1 - \varrho_n = O\left(\frac 1n\right) \] bewiesen. Dies gilt für die günstigste Wahl der Approximationsfunktionen, und diese tritt ein, wenn man nach der \textit{Koebe}schen Vorschrift auf dem Rande von \(G_n\) den Randpunkt auszeichnet, der dem Nullpunkt am nächsten liegt. Praktisch ist dieser Punkt oft schwer zu finden, und es ist daher wertvoll, bei der Auszeichnung des betreffenden Punktes größere Freiheit zu haben, ohne daß die Konvergenz der Folge verlorengeht. Es wird gezeigt: Wählt man den Punkt im Abstand \(k_n(1 - \varrho_n)\) von der Peripherie des Einheitskreises, und divergiert \(\sum k_n^2\), so bleibt die Konvergenz bestehen. Über die Güte der Konvergenz läßt sich dann aussagen: \[ 1 - \varrho_{n+1} = O\left(\frac{1}{\sqrt{\sum\limits_{\nu=1}^n k_\nu^2}}\right), \] und unter gewissen Regularitätsannahmen bezüglich des Wachstums von \(\sum k_n^2\) sogar \[ 1 - \varrho_{n+1} = O\left(\frac{1}{\sum\limits_{\nu=1}^n k_\nu^2}\right). \] Der Beweis dieser letzten Behauptung beruht auf Sätzen über Reihen mit positiven Gliedern; zwei derartige Sätze werden am Schluß der Arbeit unabhängig formuliert und bewiesen. Der Darstellung aller dieser Sätze vorausgeschickt wird eine nochmals vereinfachte und jegliche Rechnung vermeidende Darstellung des kurzen \textit{Fejér-Riesz}schen Beweises für den \textit{Riemann}schen Satz.