Über einige Abschätzungen von Funktionen, welche den Kreis konform und schlicht abbilden. (Q1439520)

Verf. gibt eine Reihe von neuen Abschätzungen für die Funktionen \(f(z)\), welche den Kreis \(|z| < 1\) konform und schlicht abbilden. Beim Beweis benutzt er den folgenden Hilfssatz: \(f(z)\) sei im Kreise \(| z | < 1\) regulär und genüge dort der Ungleichung \[ |zf^\prime(z) - r N(r)| \leqq r M(r) \qquad (|z| = r). \] Hierbei sei \(N(r)\) eine gegebene komplexe Funktion, und \(M(r)\) sei eine positive Funktion von \(r\). \(f(z)\) genügt dann den Ungleichungen \[ \int_0^r [\mathfrak R(CN) - \sqrt{|CM|^2 - \mathfrak F(CN)^2}]\, dr \leqq \mathfrak R(Cf(z)) \leqq \int_0^r [\mathfrak R(CN) + \sqrt{|CM|^2 \mathfrak F(CN)^2}]\, dr. \] Hierbei bedeutet \(\mathfrak R(\alpha)\) bzw. \(\mathfrak F(\alpha)\) den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl \(\alpha\), und \(C\) ist eine Konstante. Daraus findet Verf. leicht für die im Kreise \(|z| < 1\) schlichten Funktionen \(f(z)\), die noch so normiert seien, daß \(f(0) = 0\), \(f^\prime(0) = 1\) ist: \[ |\arg f^\prime(z)| \leqq \int_0^r \frac{2\sqrt{4 - r^2}}{1 - r^2}\, dr \qquad (|z| = r). \] Diese Schranke ist genauer als die sich nach dem \textit{Bieberbach}schen Drehungssatz ergebende Schranke. (Aus der angegebenen Schranke ergibt sich z. B. die gröbere Schranke \[ |\arg f^\prime(z)| < \sqrt{3} \log\frac{1+r}{1 - r} + \frac{r}{\sqrt{3}}.) \] Für \(r \neq 0\) gilt sogar \[ |\arg f^\prime(z)| < \int_0^r \frac{2\sqrt{4 - r^2}}{1 - r^2}\, dr. \] Weiter ergeben sich die Abschätzungen \[ \left|\arg \frac{z^2 f^\prime(z)}{[f(z)]^2}\right| \leqq 2 \int_0^r \frac{\sqrt{-\log (1 - r^2)}}{1 - r^2}\, dr \] und \[ \left|\arg \frac{z f^\prime(z)}{f(z)}\right| < \int_0^r \frac{\sqrt{4 - r^2} + \sqrt{-\log (1 - r^2)}}{1 - r^2}\, dr. \] Verf. betrachtet dann die im Kreise \(|z| < 1\) schlichten und regulären Funktionen \[ F(z) = \frac 1z + \alpha_0 + \alpha_1 z + \dots, \] wobei man den Pol bei \(z = 0\) ausschließe. Unter der Konvexitätsschranke \(R_k^\infty\) der Familie aller dieser Funktionen \(F(z)\) versteht Verf. die obere Grenze aller Werte \(r < 1\) für die der Kreis \(|z| = r\) von allen Funktionen der Familie konvex abgebildet wird. Es gilt dann: \[ 0,558 < R_k^\infty \leqq 0,577 \dots \left(= \frac{1}{\sqrt 3}\right). \] Versteht man, wie üblich, unter der Sternartigkeitsschranke \(R_s\) aller Funktionen \[ f(z) = z + a_2 z^2 + \cdots, \] die in \(|z| < 1\) regulär und schlicht sind, die obere Grenze aller \(r < 1\), für die der Kreis \(|z| < r\) durch alle Funktionen \(f(z)\) auf einen Stern abgebildet wird, so findet Verf. die Abschätzungen \[ 0,59 < R_s \leqq \frac{1}{\sqrt 2} = 0,717 \dots, \] während bisher nur \[ R_s > 0,5 \] bekannt war. Betrachtet man nur die spezielle Klasse von im Einheitskreis schlichten und regulären Funktionen der Gestalt \[ f_m(z) = z + a_{m+1}z^{m+1} + a_{2m+1}z^{2m+1} + \cdots, \] und bezeichnet man die Sternartigkeitsschranke für diese Klasse mit \(R_s^{(m)}\) so gilt \[ R_s^{(m)}=\root m\of{R_s}; \] daraus folgt z. B. \[ 0,768 < R_s^{(2)} \leqq \frac{1}{\root 4\of{2}} = 0,840 \dots . \] Weiterhin ergeben sich folgende Abschätzungen: Wenn \[ f(z) = z + a_2 z^2 + \cdots \] in \(|z| < 1\) regulär und schlicht ist und \(|z| < 1\) auf einen Stern abbildet, so gilt \[ \frac{r^m}{(1+r^m)^2} \leqq \left|\prod_{k=1}^m f(z\eta_k)\right| \leqq \frac{r^m}{(1 - r^m)^2} \] und \[ \left|\sum_{k=1}^m \arg \frac{f(z\eta_k)}{z\eta_k}\right| \leqq 2\arcsin r^m. \] Hierbei sind \(\eta_k\) (\(k = 1, 2, \dots, m\)) alle verschiedenen \(m\)-ten Einheitswurzeln. Sei \[ f_m(z) = z + a_{m+1} z^{m+1} + a_{2m+1} z^{2m+1} + \cdots \] in \(|z| < 1\) regulär und konvex. (Wenn \(m = 1\), so hat man die Klasse aller in \(|z| < 1\) regulären und konvexen Funktionen.) Verf. findet dann folgende genaue Schranke für die Koeffizienten von \(f_m(z)\): \[ |a_{nm+1}| \leqq \frac{1}{nm+1}\cdot \frac{1}{n!} \prod_{k=1}^{n-1} \left(k + \frac{2}{m}\right). \] Diese Schranke wird angenommen für die Koeffizienten der Funktion \[ \int_0^z \frac{dz}{(1-z^m)^{\frac 2m}}. \] (Für \(m= 1\) folgt das bekannte Resultat von \textit{Löwner}: \(|a_n| \leqq 1\).) Sind die Funktionen \(f_m(z)\) in \(|z| < 1\) regulär und sternartig, so findet Verf. für ihre Koeffizienten als genaue Schranke \[ |a_{nm+1}| \leqq \frac{1}{n!} \prod_{k=1}^{n-1} \left(k + \frac{2}{m}\right). \] Diese Schranke wird angenommen von den Koeffizienten der Funktion \[ \frac{z}{(1-z^m)^{\frac 2m}}. \] Für \(m = 1\) folgt \[ |a_n| < n. \qquad \qquad \qquad (\text{IV }4.) \]