Der Satz von Herrn Szegö für einige spezielle Klassen der schlichten Funktionen. (Q1439522)

Verf. verschärft einen von \textit{Szegö} (Math. Ann. 100 (1928), 188-211; F. d. M. 54, 336 (JFM 54.0336.*)) gefundenen Satz für eine spezielle Klasse von im Einheitskreise schlichten Funktionen. Sein Satz lautet: Bildet die Funktion \[ f(z) = z + b_3 z^3 + b_5 z^5 + \dots \] den Einheitskreis auf einen schlichten sternförmigen Bereich ab, so bildet der \(n\)-te Abschnitt dieser Potenzreihe \[ S_n(z) = z + b_3 z^3 + \dots + b_n z^n \qquad (n = 1, 3, 5, \dots) \] den Kreis \(|z| < \dfrac{1}{\sqrt 3}\) auch auf einen schlichten sternförmigen Bereich ab. Hierbei kann die Konstante \(\dfrac{1}{\sqrt 3}\) nicht mehr verbessert werden, wie das Beispiel \[ w(z) = \frac{z}{1+z^2} = z - z^3 + z^5 - z^7 + \cdots \] zeigt. Der Satz läßt sich auch ausdehnen auf die Klasse aller symmetrischen schlichten konvexen Abbildungen des Einheitskreises. Beim Beweis benutzt Verf. die gebräuchlichen Abschätzungen für schlichte Funktionen im Einheitskreis und ein Lemma von \textit{Szegö}. Aus diesem Lemma ergibt sich übrigens noch als genaue obere Verzerrungsschranke für die Klasse der symmetrischen schlichten Abbildungen \[ |f^\prime(z)| \leqq \frac{1 + |z|^2}{(1 - |z|^2)^2} \quad (|z| \leqq r < 1). \] Diese Schranke wird von der vorher erwähnten Funktion \(w(z)\) erreicht. \ (IV 4.)