Homographic circles or clocks. (Q1439529)

Durch die Transformation \[ z = \frac{A + Bt}{C + Dt} \] (\(A, B, C, D\) komplexe Konstanten) werden die Punkte des Einheitskreises \(T\) \[ t = e^{i\theta} \] auf die Punkte des Kreises \(Z\) \[ z = \frac{A + Be^{i\theta}}{C + De^{i\theta}} \] abgebildet. Diese Abbildung von \(T\) auf \(Z\), genauer die Verteilung der Bildpunkte auf \(Z\) unter der Voraussetzung gleichmäßiger Verteilung der Originalpunkte auf \(T\), wird in der vorliegenden Arbeit untersucht. Die Verteilung wird im Großen charakterisiert durch die Mittelbildung \[ M = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{A + Be^{i\theta}}{C + De^{i\theta}}\, d\theta \] (``centroid''), in der Umgebung des einzelnen Punktes durch die ``Dichte'' \[ \delta = \left|\frac{dz}{d\theta}\right|. \] Über \(M\) und \(\delta\) gelten folgende Sätze: \(\delta\) ist dann und nur dann konstant (gleichmäßige Verteilung der Bildpunkte auf \(Z\)), wenn \(M\) mit dem Mittelpunkt von \(Z\) zusammenfällt. Ist \(\delta\) nicht konstant, so erreicht \(\delta\) sein Maximum und Minimum -- zwei reziproke Werte -- in den Endpunkten des Durchmessers durch \(M\), des sogenannten ``Hauptdurchmessers''. Jeder Wert zwischen Maximum und Minimum wird zweimal angenommen, und zwar in Punkten, die zum Hauptdurchmesser symmetrisch liegen. Zwei Punkte \(P\) und \(Q\) reziproker Dichte liegen auf einer Sehne durch \(M\), und zwar hat die Dichte in \(P\) den Wert \(\dfrac{MQ}{MP}\). Anhangsweise wird der Zusammenhang dieser Untersuchungen mit der Theorie der polygenen Funktionen angedeutet, (Vgl. \textit{E. Kasner}, 1928; F. d. M. 54; 328-329, 376.) (IV 4.)