Sur une généralisation des polynômes d'Hermite. (Q1439540)

Aus der allgemeinen Theorie der orthogonalen Polynome folgen leicht verschiedene Eigenschaften der Polynome \(\varphi_n(x)\), definiert durch die Orthogonalitätsbedingung \[ \sum_{i=0}^{l-1} \binom{l-1}{i} p^i q^{l-1-i} \varphi_m(i) \varphi_n(i) = \varepsilon_{mn} \tag{1} \] \[ (m, n = 0, 1, 2, \dots; \;p > 0, \;q > 0, \;p + q = 1). \] Es gilt \[ \varphi_n(x) =\binom{l-1}{n}^{-\tfrac 12} (pq)^{-\tfrac n2} \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{l - x -1}{n - i}\binom{x}{i} p^{n-i} q^i, \] woraus für \(l\to\infty\), \(p(l - 1) = a =\) const die Polynome \[ \text{const }\frac{x!}{a^x} \varDelta^n \left[ \frac{a^{x-n}}{(x-n)!}\right] \tag{2} \] und für \(l\to\infty\), \(x = p(l - 1) + t\sqrt{2pq (l-1)}\) die \textit{Hermite}schen Polynome \[ \text{const }e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n} (e^{-t^2}) \tag{3} \] hervorgehen. Es sei bemerkt, daß die Polynome (2) vom Standpunkt der zu (1) analogen Orthogonalität eingehend von \textit{Charlier, Jordan} und insbesondere \textit{H. Pollaczek-Geiringer} [Z. Angew. Math. 8, 292--309 (1928; JFM 54.0559.02), besonders S. 301 u. folg.] untersucht worden sind. Sie spielen in der Statistik eine erhebliche Rolle. (IV 3 D.)