The addition theorems for general Legendre functions. (Q1439543)

Es wird auf neue Art und unter verallgemeinerten Bedingungen die Relation bewiesen: \[ P_n(\mu) P_n(\mu^\prime) + 2\sum_{m=1}^\infty (-1)^m \frac{\varGamma(n-m+1)}{\varGamma(n+m+1)} P_n^m(\mu) P_n^m(\mu^\prime) \cos\, m\varPhi = P_n(\zeta) \tag{1} \] \[ [\zeta = \mu \mu^\prime - \sqrt{\mu^2 - 1} \sqrt{\mu^{\prime 2} - 1} \cos\,\varPhi]. \] Dabei sind \(P_n(\mu)\) die für beliebig komplexes \(n\) durch einen Schnitt längs der reellen \(\mu\)-Achse von \(-\infty\) nach 1 eindeutig gemachten, allgemeinen \textit{Legendre}schen Funktionen, \(P_n^m(\mu)\) die zugeordneten Funktionen; \(\mu, \mu^\prime\) liegen in der wie angegeben aufgeschnittenen \(\mu\)-Ebene, und es ist \(\mathfrak R(\mu)>0\), \(\mathfrak R(\mu^\prime)>0\). \(\varPhi\) ist beliebig reell, und die Konvergenz für alle \(\varPhi\) gleichmäßig. Die bisher übliche Voraussetzung \(\mathfrak R(\zeta) > 0\) erweist sich als überflüssig. -- Der Beweis geht aus von der Darstellung der zugeordneten Funktionen durch \textit{Laplace}sche Integrale vom Typ \[ \int (\mu+\sqrt{\mu^2-1}\, \cos\,\varphi)^n \cos m\varPhi\, d\varPhi \qquad [\varphi = \varPhi + iu], \tag{2} \] die in der komplexen \(\varphi\)-Ebene über ein Stück (der Länge \(2\pi\)) einer passenden Parallelen zur reellen Achse geführt werden, und welche die \(P_n^m(\mu)\) im wesentlichen als \textit{Fourier}konstanten von \((\mu +\sqrt{\mu^2-1}\,\cos\,\varphi)^n\) ausweisen. Der \textit{Parseval}sche Satz liefert dann für die bilineare Reihe (1) die Integralform \[ \frac 1{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{\{\mu+(\mu^2-1)^{\tfrac 12} \cos\, (\psi - \varPhi)\}^n\, d\psi} {\{\mu^\prime+\sqrt{\mu^{\prime 2}-1}\,\cos\,\psi\}^{n+1}}. \] Diese wird durch eine ziemlich weitläufige Residuenbetrachtung auf die Gestalt \linebreak \(\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_S \dfrac{t^n\, dt}{\sqrt{1-2\zeta t+t^2}}\) gebracht, womit der Beweis zu Ende geführt ist. [\(S\) umschließt die beiden Wurzeln von \(t^2-2\zeta t+1 = 0\) einfach.] In ähnlicher Weise wird unter sehr sorgfältiger Formulierung der Voraussetzungen (insbesondere \(\mathfrak R(\mu)< 0\), \(\mathfrak R(\mu^\prime) > 0\)) die nach Produkten \(P_n^m(\mu^\prime) \cdot Q_n^m(\mu)\) fortschreitende Bilinearreihe für \(Q_n(\zeta)\) gewonnen. Endlich wird gezeigt, daß unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen über die gegenseitige Lage von \(\mu\) und \(\mu^\prime\) die Beziehung (1) auch noch gültig bleibt, wenn \(\mathfrak R(\mu)< 0\), \(\mathfrak R(\mu^\prime) > 0\). Leichter noch ist die Ausdehnung auf den Fall \(\mathfrak R(\mu)< 0\) und \(\mathfrak R(\mu^\prime) < 0\), da man nur nötig hat, die Formeln zu benützen, die \(P_n^m(-\mu)\) durch \(P_n^m(\mu)\) und \(Q_n^m(\mu)\) linear auszudrücken gestatten. \ \ (IV 3 D.)