Mathematische Miszellen. XIV: Über die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und verwandte Funktionalgleichungen. (Q1439544)

Verf. bezieht sich auf bekannte Gesetze des exponentiellen Anwachsens und Abnehmens, sowie auf ihre Darstellung durch Grenzübergänge und gibt eine neue Herleitung dieser Gesetze an Hand einer einfachen Funktionalgleichung. Es wird angenommen, daß die zu untersuchende Größe in einem Intervall \(J(a, b)\) gegeben ist, und daß für \(x_2 > x_1\) der Quotient \(\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}\) nur von der Differenz \(x_2 - x_1\) abhängt. Dieser Annähme entspricht die Funktionalgleichung \[ f(x+h) = f(x) \varphi(h), \tag{1} \] wobei noch weiter vorausgesetzt werden soll, daß \(f(x)\) für kein \(x\) aus dem Intervall \(J\) verschwindet und \(f(x)\) wenigstens an einer Stelle \(x_0\) differenzierbar ist. Dann wird mit \(h\to 0\) \[ \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h} = f(x_0) \frac{\varphi(h)-1}{h} \to \lambda, \] und für den beliebigen Punkt \(x\) von \(J\) ist \[ f(x) = e^{\tfrac{\lambda}{f(x_0)} x+c} = c_1 e^{c_2 x}. \] Die Funktionalgleichung (1) läßt sich, indem man \(\log \varphi(x)=\psi(x)\) setzt, leicht auf die Funktionalgleichung \[ \psi(x + y) = \psi(x)+ \psi(y) \tag{2} \] zurückführen. Das Definitionsintervall wird nun über die ganze Zahlengerade ausgedehnt, und man erhält eine für alle reellen Werte von \(x\) bestimmte endliche Funktion, die der Gleichung (2) genügt. Das Problem, das nun gelöst wird, lautet: Unter welchen Annahmen kann man beweisen, daß eine Lösung von (2) die Form \(ax\) hat? \ \ (IV 7.)