Sur l'uniformisation des fonctions hypergéométriques de M. Appell au moyen des fonctions modulaires de M. Picard. (Q1439555)

Die \textit{Appell}sche hypergeometrische Funktion, die durch analytische Fortsetzung des Funktionselementes \[ F_1(\alpha, \beta, \beta^\prime, \gamma, x, y) = \sum \frac{(\alpha, m+n)(\beta, m)(\beta^\prime, n)} {(\gamma, m+n)(1, m)(1, n)}\,x^m y^n \] entsteht, wird mit Hilfe der von \textit{Picard} zuerst untersuchten Modulfunktion des algebraischen Gebildes \[ s^3 = t(t-1)(t-x)(t-y) \] vom Geschlechte 3 uniformisiert. Die \(x, y\) sind nämlich automorphe Funktionen gewisser Periodenquotienten der Integrale erster Gattung dieses Gebildes, Dem Verf. leistet dabei die schon 1879 von \textit{Thomae} (Über eine spezielle Klasse \textit{Abel}scher Funktionen vom Geschlechte 3; F. d. M. 11, 334 (JFM 11.0334.*)) entwickelte Theorie der \textit{Abel}schen und Thetafunktionen dieses Gebildes wertvolle Dienste. Es handelt sich also um das Analogon der Uniformisierung der gewöhnlichen hypergeometrischen Funktion \[ F(\alpha, \beta, \gamma, x) = \sum \frac{(\alpha, m)(\beta, m)}{(\gamma, m)(1, m)}\, x^m \] durch die Modulfunktion des Gebildes \[ s^2 = t(t-1)(t-x) \] vom Geschlecht 1. (IV 5, 6 E.)