On the problem of existence of algebraic functions of two variables possessing a given branch curve. (Q1439564)

Nachdem \textit{Enriques} (Annali di mat. (4) 1 (1924), 185-198; F. d. M. 50, 674 (JFM 50.0674.*)) bewiesen hat, daß zu jeder geschlossenen \textit{Riemann}schen Mannigfaltigkeit über der komplexen projektiven Ebene eine algebraische Funktion zweier Veränderlichen gehört, kommt das im Titel genannte Problem darauf hinaus, die \textit{Poincaré}sche Fundamentalgruppe \(G\) der komplexen projektiven Ebene, von der die Punkte der gegebenen Kurve fortgenommen sind, zu untersuchen, insbesondere ihre endlichen Faktorgruppen aufzustellen. Diese Aufgabe wird ``in den einfachsten Fällen'' gelöst. Ist \(n\) die Ordnung der gegebenen Kurve \(f(x, y) = 0\), so definieren bei festem \(x = a\) die Umläufe um die \(n\) Wurzeln von \(f = 0\) in der \(y\)-Ebene \(n\) Elemente \(g_1, g_2, \dots, g_n\), die die ganze Gruppe \(G\) erzeugen und der Gleichung \(g_1 g_2 \dots g_n = 1\) genügen. Ist die Kurve irreduzibel, so sind sie konjugiert. Ist außerdem die Gruppe kommutativ, so ist sie zyklisch von der Ordnung \(n\). Jeder Verzweigungspunkt der durch \(f = 0\) definierten Funktion \(y\) von \(x\) gibt zu einer Relation zwischen \(g_1, g_2, \dots, g_n\) Anlaß, deren Gestalt für die einfachsten Fälle angegeben wird. Dies ist ein System definierender Relationen für \(G\). Mit Hilfe einiger Hilfssätze über das Verhalten von \(G\) bei stetiger Veränderung der Kurve werden Sonderfälle untersucht. Bei einer irreduziblen Kurve ohne andere Singularitäten als gewöhnliche Doppelpunkte ist \(G\) zyklisch. Bei einer irreduziblen Kurve dritter oder vierter Ordnung ist \(G\) zyklisch mit alleiniger Ausnahme der Kurve vierter Ordnung mit drei Spitzen. Bei einer Kurve sechster Ordnung mit sechs Spitzen auf einem Kegelschnitt (der Verzweigungskurve der allgemeinen Fläche dritter Ordnung) wird \(G\) von zwei Elementen \(u\) und \(v\) mit den Relationen \(u^2 = v^3 = 1\) erzeugt. Bei der Kurve vierter Ordnung mit drei Spitzen ist \(G\) eine bestimmte Gruppe der Ordnung 12. Die sämtlichen hier möglichen Funktionentypen werden aufgestellt.