Sur la théorie des équations intégrales au noyau symétrique. (Q1439583)

Verf. stellt sich in der vorliegenden Arbeit die Aufgabe, die Darstellung der Theorie der Integralgleichungen mit symmetrischem Kern zu vervollkommnen und zu vereinfachen. Er beweist zunächst allein unter der Voraussetzung, daß der symmetrische Kern \(K(x, y)\) quadratisch integrierbar ist in bezug auf \(x\) und in bezug auf \(y\), mit Hilfe einer Abschätzung des Integrals \[ \int_a^b \left[K(x, s) - \sum_{i=1}^k \frac{\varphi_i(x) \varphi_i(y)}{\lambda_i}\right]^2\, ds \] den Satz, daß zu jedem Eigenwert des Kerns nur endlich viele verschiedene Eigenfunktionen gehören, und daß die Eigenwerte sich nicht im Endlichen häufen. Der Fundamentalsatz von der Existenz eines Eigenwertes wird dann unter einigen weiteren Voraussetzungen über \(K(x, y)\), die bezwecken, daß das Integral \[ \int_a^b \int_a^b K(x, y) u(x) u(y)\, dx\, dy \] auf eine (im \textit{Hilbert}schen Sinne) vollstetige quadratische Form führt, durch Grenzübergang an dem Integral \[ \varPhi_{2n}(x) = \frac{1}{c^n} \int_a^b K^{(2n)}(x, s) u(s)\, ds \] bewiesen. Schließlich werden noch die übrigen wichtigen Sätze der Theorie der Integralgleichungen mit symmetrischem Kern unter Benutzung der im allgemeinen divergenten Bilinearreihe für den Kern \[ \sum_{i=1}^\infty \frac{\varphi_i(x) \varphi_i(y)}{\lambda_i} \] und des \textit{Riess-Fischer}schen Begriffes der Konvergenz im Mittel hergeleitet.