Verallgemeinerung von Iterationen für nicht ganze Iterationszahlen. (Q1439585)

Bei gegebenem \(f(x)\) und symmetrischem \(K(x, y)\) werden die Iterationen gebildet: \[ \begin{matrix} f_1(x) = \int\limits_0^1 f(y) K(x, y)\, dy, \\ f_2(x) = \int\limits_0^1 f_1(y) K(x, y)\, dy, \\ \hdotsfor 1 \end{matrix} \] Sind \(\lambda_j\) und \(\varphi_j\) die Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen von \(K\), und ist \[ K(x, y) = \sum_j \frac{\varphi_j(x) \varphi_j(y)}{\lambda_j}, \] so gilt für den \(n\)-fach iterierten Kern: \[ K_n(x, y) = \sum_j \frac{\varphi_j(x) \varphi_j(y)}{\lambda_j^{n+1}}. \] Folglich ist \[ f_n(x) = \int_0^1 f_{n-1}(y) K(x, y)\, dy = \int_0^1 f(y) K_{n-1}(x, y)\, dy \] \[ = \sum_j \int_0^1 f(y) \varphi_j(y)\, dy\frac{\varphi_j(x)}{\lambda_j^n} \] oder, wenn die \textit{Fourier}koeffizienten von \(f\) hinsichtlich \(\{\varphi_j\}\) mit \(C_j\) bezeichnet werden: \[ f_{(n)}(x) = \sum_j C_j \frac{\varphi_j(x)}{\lambda_j^n}. \] In dieser Form lassen sich die Iterationen auch für nichtganzes \(n\) definieren. \textit{Anwendung}: Die Integrodifferentialgleichung \[ \frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} = \int_0^1 f(x, y) K(t, y)\, dy \] ist in \(0 \leqq x < \infty\); \(t > 0\) unter den Randbedingungen \[ \begin{matrix} \l \quad & \l \\ f = \varphi(t) & \text{ für }\quad x = 0, \\ f=0 & \text{ für }\quad x = \infty \end{matrix} \] zu integrieren. Ist \(\varphi\) nach den Eigenfunktionen von \(K\) entwickelbar: \[ \varphi(t)= \sum c_j \varphi_j (t), \] dann ist \[ f(x,t) = \sum c_j e^{-\tfrac{x}{\sqrt{\lambda_j}}} \varphi_j(t) \] die Lösung. Es ist \[ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{x=0} = -\sum \frac{c_j}{\sqrt{\lambda_j}} \varphi(t), \] also die einhalbte Iteration von \(\varphi\).