Über die praktische Auflösung von linearen Integralgleichungen mit Anwendungen auf Randwertaufgaben der Potentialtheorie. (Q1439592)

Die numerische Auflösung von Integralgleichungen wird nach folgendem Verfahren bewerkstelligt: Über den Kern ist vorausgesetzt, daß er sich durch Polynome approximieren lasse. \(\lambda\) sei kein Eigenwert. Die Gleichung \[ \varphi(s) - \lambda \int_a^b K(s, t) \varphi(t)\, dt = f(s) \] wird durch das System von Näherungsgleichungen \[ \varphi_\varkappa = \lambda(b - a)\{\alpha_1 K(t_\varkappa, t_1) \varphi_1 + \alpha_2 K(t_\varkappa, t_2) \varphi_2 + \cdots + \alpha_n K(t_\varkappa, t_n) \varphi_n\} + f_\varkappa, \tag{1} \] \[ (\varkappa = 1, 2, \dots, n) \] mit \(\sum\limits_1^n \alpha_\varkappa = 1\) ersetzt. Darin sind die ``Gewichte'' \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) und Werte \(t_1, t_2, \dots, t_n\) diejenigen numerischen Konstanten, welche \textit{Gauß} (Ges. Werke III, S. 193.) zur numerischen Integration angegeben hat. Als Unbekannte sind die Größen \(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n\) anzusprechen. Der Unterschied zwischen diesen Nährungsformeln und den in der Theorie sonst üblichen liegt in der speziellen Wahl der Teilpunkte \(t_\varkappa\). Hat man nun aus (1) einmal \(n\) Werte von \(\varphi_k\) gewonnen, so ergibt sich \(\varphi(s)\) an einer beliebigen Stelle \(s\) aus \[ \varphi(s) = \lambda(b - a)\{\alpha_1 K(s, t_1) \varphi_1 + \alpha_2 K(s, t_2)\varphi_2 + \cdots + \alpha_n K(s, t_n) \varphi_n\} + f(s). \] Wie ersichtlich, brauchen \(K(s, t)\) und \(f(s)\) nicht durch analytische Ausdrücke gegeben zu sein, sondern es genügt, wenn sie etwa graphisch an den in Frage kommenden Teilpunkten gegeben sind. Eine etwas kürzere, doch nicht so genaue Methode ist die, in (1) alle Gewichte \(\alpha_k\) gleich \(\dfrac 1n\) zu wählen, und für \(t_\varkappa\) die \textit{Tschebyscheff}schen Abszissen zu setzen. Zur Auflösung des Systems (1) empfiehlt der Verf. die Methode der sukzessiven Approximationen. Zur Prüfung des Systems gehe man von einer bekannten Funktion \(\varphi(s)\) aus, etwa \(\varphi(s) = 1\). Dann errechnet man aus der Integralgleichung z. B. durch numerische Integration das zugehörige \(f(s)\). Setzt man die entsprechenden Werte in (1) ein, so erhält man einen Maßstab für die Genauigkeit, mit der das Verfahren arbeitet. Im zweiten Teil werden Anwendungen auf spezielle Fragen gemacht. Zuerst wird die erste Randwertaufgabe für die Potentialtheorie behandelt. Bei der Wahl von nur vier Teilpunkten in einem Quadranten wird eine Genauigkeit bis auf fünf Dezimalen erreicht. Sodann wird das Torsionsproblem von \textit{Saint Venant} behandelt, und die Methode mit der von \textit{Bairstow} und \textit{Berry} (Proceedings Royal Soc. London, A, 95 (1918), 457-475; F. d. M. 46, 747 (JFM 46.0747.*)) verglichen. Weiter wird die \textit{Green}sche Funktion zu einem elliptischen Grundgebiet und dem Nullpunkt als Aufpunkt berechnet, und zwar durch Lösung der Randwertaufgabe mit den Randwerten \(\log r\). Daran anschließend folgt die Berechnung derjenigen regulären Funktion, die den Einheitskreis konform auf die Ellipse abbildet. Der Vergleich mit den bekannten genauen Werten der Abbildungsfunktion ergibt Übereinstimmung bis zur dritten Dezimalen. (IV 5, 13, 17.)