Zur Theorie der unbeschränkten Matrizen. (Q1439603)

Die Arbeit schließt sich direkt an des Verf. ``Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren'' (vgl. das vorstehende Referat) an. Die unendliche Matrix \(A = \{a_{\mu\nu}\}\), \(\mu\), \(\nu = 1, 2, \dots\), heißt \textit{Hermite}sch quadrierbar (kurz: H. quadr.), wenn \(a_{\mu\nu} = \overline{a_{\nu\mu}}\) und alle \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty |a_{\mu\nu}|^2\) endlich sind. Durch Hinzunahme irgend eines (vollständigen) Orthogonalsystems entsteht aus der Matrix ein H. O.; umgekehrt kann man jeden H. O. derart darstellen, jedoch im Unbeschränkten nicht vermittels eines beliebigen, sondern nur eines \textit{passenden} Orthogonalsystems. Ist nämlich \(U = \{u_{\mu\nu}\}\) unitär, so braucht im Unbeschränkten die Matrix \(B = U A U^{-1}\), die einen Übergang zu einem neuen Orthogonalsystem entspricht, entweder überhaupt nicht zu existieren, oder, wenn sie existiert, nicht denselben H. O. darzustellen. Hieraus ergeben sich zahlreiche ``Pathologien'' der unbeschränkten Matrizen. Die ``normalen'' Sätze der Arbeit bewegen sich in der folgenden Richtung: ``Zu zwei beliebigen nicht beschränkten H. quadr. Matrizen \(A\) und \(B\) gibt es \textit{drei} unitäre \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\), so daß die sukzessiven Bildungen \(A_1 = U_1 A U_1^{-1}\), \(A_2 = U_2 A_1 U_2^{-1}\), \(A_3 = U_3 A_2 U_3^{-1}\) sinnvoll sind, und daß \(B = A_3\). Die Zahl drei läßt sich nicht mehr verringern''. Insbesondere wird die Frage der Zurückführung einer beliebigen H. quadr. Matrix (und der dazugehörigen Operatoren) auf eine Diagonalmatrix in vielen Sätzen erörtert.