Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren. (Q1439604)

Einen beschränkten oder (hypermaximalen) unbeschränkten \textit{Hermite}schen Operator \(R\) kann man auf die Spektralform \((Rf, g) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lambda d(E(\lambda) f, g)\) bringen, wo \(E(\lambda)\) eine passende Zerlegung der Einheit ist. -- Es wird der allgemeinere Fall behandelt, daß \(R\) nicht \textit{Hermite}sch, sondern (in geeigneter Definition) normal ist (für beschränkte \(R\) besagt dies, daß \(RR^* = R^* R\), wo \(R^*\) der zu \(R\) ``konjugierte'' Operator ist). Die Eigenwerte von \(R\) können dann auch komplex sein, aber es gibt eine Spektraldarstellung \[ (Rf, g) = \iint zd(\varDelta(z) f, g); \tag{1} \] hierbei ist \(\varDelta(z)\) eine für \(z = x + iy\) passend definierte Zerlegung der Einheit, und die Integration in (1) ist im \textit{Stieltjes-Radon}schen Sinne über die Gesamtebene zu erstrecken. -- In Fragen der Fortsetzbarkeit liegen bei den normalen Operatoren die Dinge einfacher als bei den \textit{Hermite}schen. Benötigt werden Betrachtungen zur Algebra der Operatoren, insbesondere der Begriff des Ringes. Im Beschränkten ist ein Ring eine Gesamtheit von Operatoren, welche mit \(A, B\) auch \(a A\), \(A^*\), \(A + B\), \(AB\) enthält und (in geeigneter Topologie) abgeschlossen ist. Bemerkenswert ist der Satz, daß ein ``\textit{Abel}scher'' Ring aus einem einzigen Element erzeugt werden kann.