Cenni riassuntivi sulla teoria dei funzionali analitici. (Q1439615)

Überblick über die früheren Resultate des Verf. Unter analytischen Funktionalen wird eine ganz spezielle Sorte verstanden, die folgendermaßen definiert ist: Den analytischen Funktionen \(y (t)\) eines Feldes \(H\) sei das Funktional \(F[y] = f\) zugeordnet. Aus \(H\) wird eine Schar von Funktionen \(y (t, \alpha)\) herausgegriffen, die von dem komplexen Parameter \(\alpha\) analytisch abhängt und eine ''analytische Linie'' heißt. Die diesen Funktionen zugeordneten Funktionalwerte bilden eine Funktion \(f (\alpha)\). Wenn diese in \(\alpha\) analytisch ausfällt, wie auch die ''analytische Linie'' ausgewählt ist, so heißt das Funktional analytisch. Man kann dann auf \(H\) den Begriff des Zusammenhangs übertragen und auch eine analytische Fortsetzung von \(F\) zu bewerkstelligen versuchen. -- Wenn die ''analytische Linie'' \(\dfrac{1}{t - \alpha}\) zu \(H\) gehört und \(F\) linear ist, so heißt \[ F_t \left[ \frac{1}{t - \alpha} \right] = v(\alpha) \] die Indikatrixfunktion von \(H\), und \(F\) läßt sich für alle \(y\) von \(H\) durch das ''funktionale Produkt'' \[ F[y] = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{C} v(t) y(t) \, dt = {\underset{*} {v(t)} y ({\overset{*} t})} \] ausdrücken, wo \(C\) eine Kurve ist, die die Singularitäten von \(y\) ein- und die von \(v\) ausschließt. \(v(t)\) kann bei analytischer Fortsetzung eine mehrdeutige Funktion sein, wodurch auch \(F\) mehrdeutig wird. Hängt das Funktional \(f\) außer von der Funktion \(y(t)\) noch von einem Parameter \(z\) analytisch ab (''gemischtes'' Funktional), so ist es eine Funktionaloperation: \[ F[y(t); z] = f(z). \] Die Indikatrixfunktion hängt dann auch von \(z\) ab: \[ v(z,\alpha) = F_t \left[ \frac{1}{t - \alpha}; z \right]. \] * \(F\) läßt sich wieder so ausdrücken: \[ F[y(t); z] = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{C} v(z,t) y(t) \, dt = f(z). \] * \(f (z)\) ist außer für die \(z\), zu denen kein \(v(z,t)\) existiert, nur noch singulär für die \(z\), bei denen ein singulärer Punkt \(t\) von \(v(z,t)\) mit einem solchen von \(y(t)\) zusammenfällt, weil die Kurve \(C\) dann nicht so gelegt werden kann, daß sie die Singularitäten trennt. Hieraus ergibt sich der \textit{Hadamard}sche Kompositionssatz über die Multiplikation der Singularitäten, dessen Originalbeweis ja auch auf dem obigen Integral beruht. Hat die analytische Funktionaloperation die Eigenschaft: \[ F[y(t+ \omega); z] = F[y(t); z + \omega] = f(z + \omega), \] so handelt es sich um den Fall des ''geschlossenen Zyklus'' im Sinne von \textit{Volterra}. Hier ist \(v(z, \alpha) = h (z - \alpha)\). Durch entsprechende Überlegungen wie oben ergibt sich hier der \textit{Hurwitz}sche Satz über die Addition der Singularitäten. Bei nichtlinearen Funktionalen werden nach dem Vorgang von \textit{Volterra} die Variationen betrachtet und Reihenentwicklungen vorgenommen. (IV 4.)