Sur quelques équations fonctionnelles linéaires. Rédigé par \textit{W. Stepanoff}. (Q1439626)

Die allgemeine Form der in dieser Arbeit betrachteten linearen Funktionalgleichungen ist \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill \sum\limits_{i=1}^{n} k_i f(\lambda_i z + \mu_i) = 0. \hfill } \] \(k_i, \lambda_i, \mu_i\) sind gegebene komplexe Konstanten, \(f(z)\) ist die gesuchte analytische, bei \(z = \infty\) reguläre und dort verschwindende Funktion, die die Gleichung (1) identisch in \(z\) erfüllen soll. Als notwendige Bedingung für die Existenz einer solchen Funktion ergibt sich sofort \[ \displaylines{\rlap{(2)} \hfill \sum\limits_{=1}^{n} \frac{k_i}{\lambda^p} = 0 \hfill } \] für eine natürliche Zahl \(p\). Ist dies für eine einzige natürliche Zahl \(p\) der Fall, so ist die Lösung bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. In gewissen Fällen existieren, wenn die Voraussetzung (2) erfüllt ist, tatsächlich Lösungen, deren Singularitäten der eigentliche Gegenstand der Untersuchung sind. Es wird dabei vorausgesetzt, daß (2) für \(p = 1\) erfüllt ist. Im Falle \(n=2\) ergeben sich als Lösungen in der Hauptsache rationale Funktionen. Im Falle \(n = 3\) wird die Gleichung \[ \varphi(y) = \frac{\lambda}{2} [\varphi(\lambda y+1) + \varphi(\lambda y-1)] \qquad (|\lambda| > 2) \] genauer untersucht, die typisch ist für alle anderen Fälle. Die singulären Punkte der nicht identisch verschwindenden Lösung dieser Gleichung machen eine lineare oder ebene perfekte, nirgends dichte Punktmenge aus. Für \(n > 3\) werden nur noch zwei Spezialfälle behandelt, die Gleichungen \[ \left( 1-\frac{i}{2} \right) f(x) = f(2x+1)+f(2x-1)+f(2ix) \] und \[ \frac{4}{3} f(x) = f(3x+1)+f(3x-1)+f(3x+i)+f(3x-i). \] Beide Gleichungen haben Lösungen im oben genannten Sinne. Die singulären Punkte dieser Lösungen bilden ein eindimensionales Kontinuum bzw. eine ebene perfekte, nirgends dichte Punktmenge. Die Lösung der letzten Gleichung stimmt mit einer schon früher von \textit{Urysohn} (Fundamenta 4 (1923), 144-150; F. d. M. 49, 213 (JFM 49.0213.*)) mit Hilfe von Partialbruchreihen konstruierten Funktion überein. (IV 11.)