Ein Existenzbeweis für Systeme von Differentialgleichungen mit Hilfe der Methode der unendlich vielen Veränderlichen. (Q1439641)

Verf. beschränkt sich der kürzeren Schreibweise halber auf eine einzige Gleichung, da die Untersuchung für ein System genau so verläuft; der bewiesene (bekannte) Satz lautet: ``\(f (x, y)\) sei für \(0 < x < \pi\) meßbar in \(x\), stetig in \(y\), und es gelte \[ | f (x, y)|\leqq M (x)\quad \text{mit}\quad \int\limits_0^\pi M(x)^2\, dx=K; \] dann existiert eine Lösung \(y (x)\) von \[ y(x)= \int\limits_0^x f (\xi,y(\xi))\, d\xi.\text{''} \] Der Beweis erfolgt durch Bestimmung der \textit{Fourier}koeffizienten von \(y(x)\) in Bezug auf das Orthogonalsystem \(\cos \nu x\); diese Bestimmung wird mittels eines Diagonalverfahrens auf die Auflösung unendlich vieler Systeme von endlich vielen stetigen Gleichungen mit je endlich vielen Unbekannten zurückgeführt; die Existenz der Lösungen dieser stetigen Gleichungssysteme wird aus einem bekannten topologischen Satz von \textit{Brouwer} geschlossen. (IV 3 D, 7.)