Sur les intégrales des équations différentielles considérées comme fonctions des paramètres. (Q1439644)

Die rechte Seite der Differentialgleichung \[ \frac{dx}{dt}=f(t,x;\mu) \tag{\text{*}} \] sei eine analytische Funktion der Variablen \(t\), \(x\) und des Parameters \(\mu\); ein Integral von (*), das für \(t=t_0\) den Wert \(x= x_0\) annimmt, werde mit \(x= \varphi (t, t_0, x_0, \mu)\) bezeichnet. Auf der Kurve \(x = \varphi (t, t_0, x_0, 0)\) habe für \(t= t_1\) die Funktion \(f (t, x; \mu)\) einen Pol \((p - 1)\)-ter Ordnung in bezug auf \(x\), so daß in der Umgebung von \(t = t_1\), \(x = x_1 = \varphi (t_1, t_0, x_0, 0)\) eine Entwicklung der Form \[ f(t_1,x;0)=\frac{a_{-p+1}}{(x-x_1)^{p-1}} +\cdots \] existiert und in der Umgebung von \(t = t_1\) \[ \varphi(t,t_0,x_0,0)=\mathfrak P\left((t-t_1)^{\frac1p}\right) \] ist. Verf. untersucht unter dieser Voraussetzung das Verhalten von \(\varphi (t_1,t_0,x_0,\mu)\) als Funktion des Parameters \(\mu\) in der Nachbarschaft von \(\mu= 0\) und findet, daß entweder \[ \varphi(t_1,t_0,x_0,\mu)-x_1=\mathfrak P^*\left(\mu^{\frac1p}\right) \qquad(\mathfrak P^*(0)=0), \] wobei die \(p\) Zweige sich bei einem Umlauf von \(\mu\) um \(\mu = 0\) zyklisch vertauschen, oder daß \(n\) Gruppen von Integralen \[ \varphi(t_1,t_0,x_0,\mu)=x_1+\mathfrak P^*_\nu\left(\mu^{\frac1{p_\nu}}\right) \qquad(\mathfrak P^*_\nu(0)=0;\;\nu=1,\,2,\,\ldots,\, n) \] vorhanden sind, wobei \(p_1 + p_2 + \cdots+ p_n = p\), die \(p_\nu\) positive ganze Zahlen, und bei einem Umlauf von \(\mu\) um \(\mu = 0\) die Integrale der einzelnen Gruppe sich zyklisch vertauschen. Der Fall \(p = 3\) wird eingehend diskutiert. Auca der Fall wird erörtert, daß der Punkt \((t_0, x_0)\) mit dem Punkt \((t_1, x_1)\) zusammenfällt.