Sur les intégrales de l'équation différentielle \(\dfrac{d^2y}{dx^2}={F(x,y)}\). (Q1439659)

Es wird die Differentialgleichung \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill \frac{d^2 y}{dx^2} = F(x,y) \hfill } \] untersucht, wobei \(F(x,y)\) von \(x\) und \(y\) analytisch abhängt in dem Bereich \[ x \geqq x_0, \, - \infty < y < + \infty, \] und zwar derart, daß \(F (x, y)\) für jeden festen Wert von \(x\) mit \(y\) monoton wächst und mit \(y\) zugleich verschwindet. Verf. untersucht nun die Gestalt der Lösungskurven \(y (x)\), wenn man \(y'(x_0) > 0\) fest vorschreibt und für \(y(x_0)\) verschiedene Anfangswerte nimmt. Die Lösungskurven lassen sich dann ihrem Verlauf nach in mehrere Klassen einteilen. Aus dieser Klassifikation ergibt sich auch der Satz: Die Gleichung (1) besitzt genau eine Lösung mit folgenden Eigenschaften: 1. Für \(x*\to + \infty\) konvergiert \(y(x)\) gegen eine endliche Zahl \(b\); 2. \(y'(x_0)\) hat einen vorgeschriebenen positiven Wert. \(b\) ist dann von selbst niemals positiv \((b \leqq 0)\). Verf. betrachtet noch den Spezialfall \[ F(x,y)=p(x)q(y), \] wobei \(p(x)\) für \(x \geqq x_0\) eine positive analytische Funktion von \(x\) ist und \(q(y)\) in \(- \infty < y < +\infty\) analytisch von \(y\) abhängen, mit \(y\) von \(-\infty\) bis \(+\infty\) wachsen und für \(y = 0\) ebenfalls verschwinden soll. Hat dann \(p (x)\) noch die Eigenschaft, daß \(\int\limits_{x}^{+\infty} p(t)\,dt\) konvergiert, während \(\int\limits_{x}^{+\infty} \,dt \, \int\limits_{t}^{+\infty} p(\tau)\,d\tau\) divergiert, so muß \(b\) gleich Null sein. (Man nehme z. B. \(p(x) = x^{-n}, \, 1 < n < 2\).)