Der charakteristische Exponent der Hillschen Differentialgleichung. (Q1439662)

Die \textit{Hill}sche Differentialgleichung \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill y''+ (\lambda+\gamma F(x)) y = 0, \hfill } \] in welcher \(\lambda\) und \(\gamma\) reelle Parameter, \(F(x)\) eine beschränkte, gerade, zweimal differenzierbare, mod \(2\pi\) periodische Funktion mit \[ \int\limits_{0}^{2\pi} F(x)\, dx = 0 \] sein soll, hat nach einem \textit{Floquet}schen Satz das allgemeine Integral \[ \displaylines{\rlap{(2)} \hfill y(x) = C_1 e^{\mu x} \varPhi(x) + C_2 e^{-\mu x} \varPhi(-x), \hfill } \] wo \(\varPhi(x)\) eine mod \(2\pi\) periodische Funktion ist, also stets Lösungen, die der Gleichung \[ y(x+2\pi)=e^{2\pi \mu} y(x) \] genügen. Der ``charakteristische Exponent'' \(\mu\) hängt bei festem \(F(x)\) allein von \(\lambda\) und \(\gamma\) ab. Ist \(u(x)\) eine gerade Lösung von (1) und \(u(0) = 1\), so ist nach \textit{H. Poincaré} ch \(2\pi \mu = u(2\pi)\). Verf. teilt die \((\lambda,\gamma)\)-Ebene mittels der \(\lambda\)-Achse, der \(\gamma\)-Achse und der Geraden \(\lambda = \gamma |\text{Min}\, F(x)|,\, \lambda=-\gamma |\text{Max}\, F(x)|\) in acht Gebiete und gibt für jedes derselben unter der Voraussetzung, daß in den an die \(\lambda\)-Achse grenzenden Gebieten \(|\lambda| \gg 1, \, |\gamma|\) endlich oder Null, in den an die \(\gamma\)-Achse grenzenden Gebieten \(|\gamma| \gg 1, \, |\lambda|\) endlich oder Null, eine asymptotische Formel für ch \(2\pi \mu\). Diese Formeln lehren: In den zwei an die positive \(\lambda\)-Achse grenzenden Gebieten gibt es zu jedem vorgegebenen imaginären \(\mu\) und reellem \(\gamma\) abzählbar unendlich viele Werte von \(\lambda\) derart, daß (1) eine Lösung besitzt, die \(\mu\) zum charakteristischen Exponenten hat. In den vier an die \(\gamma\)-Achse grenzenden Gebieten gibt es zu jedem reellen oder imaginären \(\mu\) und reellem \(\lambda\) abzählbar unendlich viele Werte \(\gamma\) derart, daß (1) eine Lösung mit \(\mu\), als charakteristischem Exponenten hat. Für die Anzahl \(\mathfrak{A}(\lambda_0)\) der \(\lambda\) die hei festem \(\alpha\) zu \(\gamma_0 = \alpha \lambda_0\) gehören und kleiner als \(\lambda_0\) sind, sowie für die Anzahl \(\mathfrak{A}(\gamma_0)\) der \(\gamma\), die bei festem \(\beta\) zu \(\lambda_0=\beta \gamma_0\) gehören und kleiner als \(\gamma_0\) bzw. größer als \(-\gamma_0\) sind, werden asymptotische Formeln angegeben. Für einen Punkt \((\lambda, \gamma)\) kann \(2\pi \mu\) rein imaginär und \(\neq n \pi \sqrt{-1}\) oder komplex mit dem Imaginärteil \(n \pi \sqrt{-1}\) sein, wo \(n\) eine ganze Zahl ist. Im ersten Fall sind nach (2) alle Lösungen von (1) \textit{stabil}, d. h. beschränkt für alle \(x\), im zweiten Fall können \textit{labile}, d. h. nicht beschränkte Lösungen auftreten. Entsprechend werden \textit{stabile} und \textit{labile Lösungsgebiete} unterschieden. Auf den Grenzen zwischen beiden liegen Punkte \((\lambda, \gamma)\), für welche \(2\pi \mu = n \pi \sqrt{-1}\) ist; sie führen zu ganz- oder halbperiodischen Lösungen (Periode \(2\pi\), bzw. \(4\pi\)), je nachdem \(n\) gerade oder ungerade ist. Die oben eingeführten, an die positive \(\lambda\)-Achse grenzenden Gebiete sind asymptotisch stabile Lösungsgebiete mit schmalen labilen Streifen; die an der \(\gamma\)-Achse liegenden Gebiete sind asymptotisch labile Lösungsgebiete, die von schmalen stabilen Streifen durchzogen werden. Die an die negative \(\lambda\)-Achse angrenzenden Gebiete sind insgesamt labile Lösungsgebiete. -- Die Gestalt dieser Lösungsgebiete und der Grenzkurven wird noch genauer untersucht. Zum Schluß werden die Ergebnisse an der \textit{Mathieu}schen Gleichung kontrolliert. Die Arbeit enthält einige Versehen; man vgl. die Berichtigung in Math. Ann. 105 (1931), 324 sowie des Verf. Bericht in den Ergebnissen der Mathematik 1, Heft 3, S. 12-20 (1932; F. d. M. 58).