La discussion d'une équation différentielle linéaire en un point singulier irrégulier. (Q1439668)

Verf. beweist zunächst einen Hilfssatz, der sich auf ein System von unendlich vielen linearen inhomogenen Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten bezieht. Bezeichnet man die Lösung \(\xi_n\) des Systems \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill \xi_n + \sum\limits_{s=1}^{\infty} a_{ns} \xi_s = b_n \qquad (n=1,2, \ldots) \hfill } \] als beschränkt, wenn alle \(\xi_n\) ihrem absoluten Betrage nach unter einer festen Schranke liegen, so gilt der folgende Satz: Gibt es zwei positive Zahlen \(0 < \vartheta < 1\) und \(M\) derart, daß für alle \(n= 1,2, \ldots\) \[ \sum\limits_{s=1}^{\infty} |a_{ns}| \leqq \vartheta \quad \text{und} \quad |b_n| \leqq M \] gilt, so besitzt das System (1) eine einzige beschränkte Lösung. Verf. wendet dieses Theorem bei der Betrachtung der Lösungen der Differentialgleichung \[ y^{(m)}+\sum\limits_{s=0}^{m-1} Q_s(x) y^{(s)} = 0 \] an, deren Koeffizienten in \(x = a\) Pole haben mögen. Der singuläre Punkt der Gleichung sei nicht im \textit{Fuchs}schen Sinne regulär. Es werden in der Umgebung dieses Punktes Lösungen der Form \[ x^{\varrho} \sum\limits_{s=0}^{\infty} c_{s} x^s \] untersucht. Als Anwendung ergibt sich ein Satz von \textit{Perron} über ein spezielles System von linearen Differentialgleichungen (Math. Ann. 70 (1910), 1-32; F. d. M. 41, 347 (JFM 41.0347.*)-348). Zum Schluß wendet Verf. das genannte Theorem auf solche Fälle an, bei denen die \textit{Thomé}sche Normalreihe (der singuläre Punkt liegt im Unendlichen), die im allgemeinen nur eine asymptotische Darstellung der Lösung liefert, konvergiert. (IV 7.)