Linear differential equations of infinite order with polynomial coefficients of degree one. (Q1439679)

Diese Arbeit ist Differentialgleichungen der Form \[ \tag{I} A[y]+xB[y]\equiv\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n+b_nx)y^{(n)}(x)=0 \] bzw. \[ \tag{II} A[y]+xB[y]\equiv\sum\limits_{n=0}^{\infty}(a_n+b_nx)y^{(n)}(x)=g(x) \] gewidmet, wobei \[ A(t)=\sum a_nt^n\text{ und }B(t)=\sum b_nt^n \] für \(|t|<R\) regulär sein sollen und \(g (x)\) eine ganze Funktion vom exp. val. \(q<R\) bedeutet. (Wegen der Bezeichnungen vgl. die beiden vorangehenden Referate.) Die Methode ist teilweise der vom Verf. in einer früheren Arbeit (vgl. F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 859) entwickelte Kalkül mit Differentialoperatoren, teilweise die Methode der Reihenentwicklung nach Eigenfunktionen. Und zwar verläuft die Untersuchung verschieden, je nachdem die Differentialgleichung \[ \tag{1} A(t)D(t)+B(t)D'(t)=0 \] eine im ganzen Kreis \(|t|<R\) reguläre Lösung \(D (t)\) hat oder nicht. Ist \(D(t)\) in \(|t|<R\) regulär, und hat \(B(t)\) ebenda \(m\) Nullstellen \(\xi_1, \dots, \xi_r\) mit den Vielfachheiten \(p_1, \dots, p_r\), so hat die homogene Gleichung (I) genau \(m\) linear unabhängige Lösungen mit einem exp. val. \(< R\), die den einzelnen Nullstellen gemäß deren Vielfachheit zugeordnet werden können und die Form \[ y(x)=e^{\xi_ix}Q(x) \] haben, wo \(Q (x)\) ein Polynom \((p_i-1)\)-ten Grades ist. Die inhomogene Gleichung (II) hat dann und nur dann eine Lösung mit exp. val. \(< R\), wenn \(G (x) = D [g (x)]\) für \(x= 0\) verschwindet. -- Ist \(D (t)\) zwar nicht im ganzen Kreis \(|t|<R\), aber wenigstens an einer Nullstelle \(\xi\) der Funktion \(B (t)\) von der Ordnung \(p\) regulär, so kann man wenigstens für die homogene Gleichung (I) aussagen, daß sie genau \(p\) linear unabhängige Lösungen der Form \(y(x)=e^{\xi x}Q(x)\) hat (Nr. 2). In Nr. 3 wird unabhängig von dem Verhalten der Funktion \(D (t)\) bewiesen: Ist \(B (0)\neq0\), so gibt es stets ein \(y (x)\) derart, daß \(A[y]+xB[y]\) -- \(g(x)\) gleich einer Konstanten ist. Differentiation nach der unabhängigen Variablen führt (II) in eine Gleichung \[ \tag{2} H[y]+xK[y]=h(x) \] über, und um diese zu lösen, wird erst die spezielle Gleichung \[ \tag{3} H[y_n]+xK[y_n]=x^n \] behandelt; es gibt ein einziges Polynom \(n\)-ten Grades \(y_n(x)\), das (3) löst; Verf. nennt diese Polynome \textit{Hurwitz}sche Polynome. Sie haben die erzeugende Funktion \[ f(t;x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}y_n(x)\frac{t^n}{n!}= D(t)\frac1{BD}\left[\frac{e^{tx}-1}{tx}\right], \] die für alle \(x\) und für solche Kreise \(|t|<\varrho\) regulär ist, in denen \(B(t)\neq0\) bleibt. Ist \[ h(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}h_nx^n, \] so ist \[ y(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}h_ny_n(x), \] eine Lösung von (2); falls der exp. val. \(q\) von \(h (x)\) kleiner als \(\varrho\) ist, ergibt sich das sofort, falls \(\varrho<q<R\), erst nach einer Abänderung des Gedankengangs. Durch Integration folgt dann die Behauptung bezüglich (II). In Nr. 4 setzt Verf. speziell \(B(t)=t-\xi\), wobei \(|\xi|<R\) ist, und führt in die homogene Gleichung (I) einen Parameter \(\lambda\) ein; sie lautet dann \[ \lambda y+(a_1y'+a_2y''+\cdots)+x(y'-\xi y)=0. \] Die Eigenwerte sind diejenigen Werte \(\lambda\), für welche \(D(t)\) an der Stelle \(\xi\) regulär bleibt, d.h. die Zahlen \[ \lambda_n=-[n+A(\xi)-A(0)]\qquad (n=0,1,2,\dots) \] Wird \(C(u)\) durch die Gleichung \[ C(t-\xi)=\exp\bigg\{\int\limits_\xi^t\frac{A(t)-A(\xi)}{t-\xi}\,dt\bigg\} \] definiert, so ist die \(n\)-te Eigenfunktion \[ u_n(x)=e^{\xi x}Q_n(x), \] wobei \(Q_n (x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades ist und die Integraldarstellung \[ Q_n(x)=\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{C(u)e^{ux}}{u^{n+1}}\,du \] hat, in welcher der Integrationsweg \(C\) innerhalb \(|u|<R-|\xi|\) den Punkt \(u = 0\) umläuft. Anschließend wird das Entwicklungsproblem bedandelt: Hat \(f (x)\) einen exp. val. \(\lambda<R-|\xi|\), so gilt die Entwicklung \[ f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\alpha_nQ_n(x) \] mit den Koeffizienten \[ \tag{4} \alpha_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_{C'}\frac{F(u)}{C\left(\dfrac1u\right)u^{n+1}}\,du, \] wo auch \(C'\) ein geeignet gewählter, \(u= 0\) umlaufender Weg ist. In jedem abgeschlossenen Gebiet ist die Konvergenz gleichmäßig. Aus diesem Entwicklungssatz folgt: Ist \(B(t)=t-\xi\), \(|\xi|<R\), \(g(x)=e^{\xi x}f(x)\) wobei \(f (x)\) einen exp. val. kleiner als \(R-|\xi|\) hat, \(D(t)\) für \(t=\xi\) nicht regulär, so hat die Differentialgleichung \[ \tag{5} A[y]+x(y'-\xi y)=g(x) \] eine Lösung mit exp. val. \(< R\), nämlich \[ y(x)=e^{\xi x}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha_n}{A(\xi)+n}Q_n(x), \] in der die \(\alpha_\nu\) durch (4) geliefert werden. -- Die Beschränkung der Funktion \(g (x)\) kann nachträglich etwas gemildert werden (Nr. 5, Anfang). In ähnlicher Weise wird der Fall behandelt, daß \(B(t)=(t-\xi_1)(t-\xi_2)\); zu jeder der Stellen \(\xi_1\) und \(\xi_2\) gehört eine unendliche Folge von Eigenwerten (Nr. 6, Anfang). Verf. verläßt die Methode der Reihenentwicklung nach Eigenfunktionen und nimmt die Methode der Differentialoperatoren wieder auf (Nr. 5, zweiter Teil). Ist wieder \(B(t)=t -\xi\), wird \(K (t)= C (t - \xi)\) gesetzt und auf (5) die Operation \(\frac1K\) ausgeübt, so entsteht für \(w (x) =\frac1K[y (x)]\) die Differentialgleichung erster Ordnung \[ \tag{6} xw'(x)+(\alpha-\xi x)w(x)=g(x),\text{ worin }\alpha=A(\xi),g(x)=\frac1K[f(x)]. \] Indem man deren Theorie heranzieht, ergibt sich: Ist in Gleichung (5) \(A (t)\) regulär für \(|t|<R\), \(|\xi|<R\), \(f (x)\) vom exp. val. \(\lambda<R\), \(D (t)\) nicht regulär für \(t=\xi\), so hat sie genau eine Lösung \(y (x)\) vom exp. val. \(< R\), nämlich \(y(x) = K[w(x)]\), wobei \(w(x)\) die für \(x = 0\) reguläre Lösung von (6) ist. Die zugehörige homogene Gleichung hat keine Lösung vom exp. val. \(<R\). Der exp. val. von \(y (x)\) ist für \(\lambda\geqq |\xi|\) gleich \(\lambda\), für \(\lambda<|\xi|\) gleich \(\lambda\), falls \(D [f] = 0\) für \(x= 0\), sonst gleich \(|\xi|\). -- In ähnlicher Weise wird auch der Fall \(B(t)= (t - \xi_1) (t-\xi_2)\) behandelt (Nr. 6, zweiter Teil). Ganz allgemein wird dann in Nr. 7 gezeigt: Hat \(B(t)\) in \(|t|<R\;m\) Nullstellen und \(g(x)\) einen exp. val. \(q < R\), so können die Gleichungen (I) und (II) mittels Differentialoperatoren in lineare Differentialgleichungen endlicher, nämlich \(m\)-ter Ordnung vom \textit{Fuchs}schen Typus transformiert werden, die mit den ursprünglichen Gleichungen in dem Sinne äquivalent sind, daß jeder Lösung mit exp. val. \(< R\) der ursprünglichen Gleichungen eine ebensolche Lösung der transformierten Gleichungen entspricht und umgekehrt. (IV 4, 7, 10.)