Über eine Frage der Eigenwerttheorie. (Q1439691)

Verf. wirft die Frage auf, inwiefern durch Vorgabe der Eigenwerte die Koeffizienten einer linearen Differentialgleichung bestimmt sind. Er beantwortet sie für die Gleichung der schwingenden Saite durch folgenden Satz: Hat die Gleichung \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \mu\frac{d^2\varphi}{dx^2}-q(x)\varphi(x)+\lambda\varphi=0 \hfill} \] (\(\mu =\) konstant, \(q (x)\) stetig) bei den Randbedingungen \(\varphi'(0)=\varphi'(\pi)=0\) die Eigenwerte \(\lambda_n=\varkappa n^2\), so muß \(\mu=\varkappa\) und \(q(x)=0\) sein, d.h. die Gleichung lautet \(\varkappa\varphi''+\lambda\varphi=0\). Der Beweisgang ist folgender: Aus dem asymptotischen Verhalten der Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen folgt leicht \(\mu=\varkappa\) und . \[ \displaylines{\rlap{\indent(2)}\hfill \textstyle\int\limits_{0}^{\pi}q(x)\,dx=0. \hfill} \] Sodann wird gezeigt, daß die Eigenwerte von \[ \varkappa y''+\sigma q(x) y+\lambda y=0\qquad (y'(0)=y'(\pi)=0) \] analytische Funktionen von \(\sigma\) sind. Für \(\sigma=0\) sind es die Werte \(\varkappa n^2\), für \(\sigma=1\) die Eigenwerte von (1). \(\lambda(\sigma)\) wird nun nach Potenzen von \(\sigma\) entwickelt. Dabei ergibt sich, daß die Entwicklungskoeffizienten mit den \textit{Fourier}koeffizienten von \(q (x)\,\varphi_1(x)\) zusammenhängen (\(\varphi_1\) erste Eigenfunktion), und daß diese vom zweiten ab verschwinden. Somit ist also \(q(x)\) konstant, und nach (2) folgt dann die Behauptung.