Über Stabilität und asymptotisches Verhalten der Lösungen eines Systems endlicher Differenzengleichungen. (Q1439697)

Im Rahmen eines kurzen Referates dürfte es schwierig sein, über die mannigfachen Ergebnisse dieser Arbeit im einzelnen zu berichten. Es seien also nur die Hauptfragen formuliert, welche darin diskutiert werden. In dem System von Differenzengleichungen \[ x_\nu(t+1)=\sum\limits_{\mu=1}^{n}a_{\nu\mu}x_\mu(t)+ \varphi_\nu(t,x_1(t),x_2(t),\dots,x_n(t))\qquad (\nu=1,2,\dots,n) \] seien \(a_{\nu\mu}\) konstant, \(\varphi_\nu(t, 0, 0,\dots, 0) = 0\). Die triviale Lösung \(x_\nu(t)=0\) heißt \textit{stabil}, wenn es ein \(a > 0\) von folgender Art gibt: Zu jedem \(\varepsilon\), \(0<\varepsilon<a\), gehört ein \(\varepsilon_1\), \(0<\varepsilon_1<\varepsilon\), so daß jede Lösung mit der Anfangsbedingung \(0<\sum|x_\nu(0)|<\varepsilon_1\) für \(t>0\) existiert und der Ungleichung \(\sum|x_\nu(t)|<\varepsilon\) genügt. Sonst heißt die triviale Lösung \textit{instabil}. \textit{Sie ist vollkommen instabil}, wenn es ein \(\varepsilon\), \(\varepsilon>0\), gibt, so daß bei jeder Lösung mit \(0<\sum|x_\nu(0)|<\varepsilon\) für ein passendes \(t> 0\) entweder die Existenz der Lösung aufhört oder \(\sum|x_\nu(t)|\geqq\varepsilon\) wird. Die obige Lösung heißt schließlich \textit{bedingt stabil}, wenn es ein \(a\), \(a > 0\), von folgender Art gibt: Zu jedem \(\varepsilon\), \(0<\varepsilon<a\), gehört ein \(\varepsilon_1\), \(0<\varepsilon_1<\varepsilon\), so daß \textit{einige}, aber \textit{nicht alle} Lösungen mit \(0<\sum|x_\nu(0)|<\varepsilon_1\) für \(t > 0\) stets existieren und \(\sum|x_\nu(t)|<\varepsilon\) erfüllen. Es werden in der vorliegenden Arbeit recht allgemeine Stabilitätskriterien angegeben; ferner wird das Verhalten der Lösung für große Werte von \(t\) eingehend untersucht. Dies hängt natürlich in wesentlichem Maße von den Anfangswerten ab. Dabei sind über die ``Kleinheit'' von \(|\varphi_\nu|\) verschiedene Voraussetzungen zu machen. Die Methode ist mit der verwandt, welche der Verf. kürzlich bei der analogen Frage über Differentialgleichungen benutzt hat [Math. Z. 29, 129--160 (1928; JFM 54.0456.04)].