Verallgemeinerung des Satzes vom letzten Multiplikator. (Q1439708)

Nach dem \textit{Jacobi}schen Satz vom letzten Multiplikator kann man bekanntlich das \((n - 1)\)-te Integral des Systems \[ \frac{dx_1}{X_1}=\frac{dx_2}{X_2}\cdots=\frac{dx_n}{X_n} \tag{\(*\)} \] durch eine Quadratur finden, wenn man \(n - 2\) unabhängige Integrale und einen \textit{Jacobi}schen Multiplikator kennt. Unter Verallgemeinerung des Begriffs des \textit{Jacobi}schen Multiplikators beweist nun Verf., daß man bei Kenntnis von \(\nu - 2\) (\(\nu\leqq n\)) Integralen \(f_i=c_i\) von (\(*\)) ein \(\nu\)-tes durch Quadratur finden kann, falls noch folgendes gelungen ist: 1. Aufstellung von \(n-\nu\) Gleichungen \[ \sum\frac{\partial f}{\partial x_k}X_k'=0,\dots, \sum\frac{\partial f}{\partial x_k}X_k^{(n-\nu)}=0, \] welche zusammen mit der Gleichung \(\sum\frac{\partial f}{\partial x_k}X_k=0\) ein vollständiges System bilden, welchem die \(f_i\) genügen; 2. Auffindung eines \textit{Lie}schen Multiplikators zu diesem System.