Les caractéristiques doubles et le problème de la déformation des surfaces. (Q1439716)

Verf. entwickelt zunächst die Charakteristikentheorie einer \textit{Monge-Ampère}schen Differentialgleichung (\(E_2\)) der Form: \[ Hr+2Ks+Lt+M+N((rt-s^2)=0,\;N\not\equiv0; \tag{1} \] ihre Charakteristiken erster Ordnung sind durch das System \[ \begin{matrix} N\,dp&+&L\,dx&+&\lambda_1\,dy&=&0,\\ N\,dq&+&\lambda_2\,dx&+&H\,dy&=&0,\\ dz&-&p\,dx&-&q\,dy&=&0 \end{matrix} \tag{2} \] gegeben, worin \(\lambda_i\) Wurzeln der quadratischen Gleichung: \[ \lambda^2+2K\lambda+HL-MN=0 \tag{3} \] sind, deren Diskriminante \(F\) die Existenz zweier getrennter oder zusammenfallender Charakteristikenscharen entscheidet. Bezeichnet man im Falle \(\lambda_1=\lambda_2=-K\) die Gleichungen (2) abgekürzt mit \(\varOmega_i=0\), so sind die sogenannten Doppelcharakteristiken durch das System: \(F=\varOmega_1=\varOmega_2=\varOmega_3=0\) gegeben. Sie hängen von drei willkürlichen Konstanten bzw. von einer willkürlichen Funktion einer Variablen ab, je nachdem ihre definierenden Differentialgleichungen auf ein System von drei Differentialgleichungen erster Ordnung oder auf ein \textit{Pfaff}sches System zweier Gleichungen in vier Variablen reduziert werden können. Eine Gleichung von der Form (1) liefert das Verschwinden der Totalkrümmung der quadratischen Form \[ ds^2-dz^2=(1-p^2)\,du^2-2pq\,du\,dv+(C^2-q^2)\,dv^2\; \bigg(p=\dfrac{\partial z}{\partial u},\,q=\dfrac{\partial z}{\partial v}\bigg), \tag{9} \] nämlich \[ C(rt-s^2)+ \bigg[c^2\dfrac{\partial C}{\partial u}p-\dfrac{\partial C}{\partial v}q\bigg]r+ 2\dfrac{\partial C}{\partial u}qs-C^2\dfrac{\partial^2 C}{\partial u^2}p^2 -\bigg[\dfrac{\partial^2 C}{\partial u^2}+\frac1C \bigg(\dfrac{\partial C}{\partial u}\bigg)^2\bigg]q^2+ c^2\dfrac{\partial^2 C}{\partial u^2}=0, \tag{10} \] wo $C$ eine mit dem Bogenelement $ds^2 = du^2 + C^2dv^2$ einer Fläche $z = z(u, v)$ gegebene Funktion der Parameter $u$, $v$ ist. Da jedes Integral der Gleichung erster Ordnung $(E_1)$ \[ C^2(1-p^2)-q^2=0\quad(F=0) \tag{11} \] auch die so gewonnene {\it Monge-Ampère\/}sche Gleichung $(E_2)$ befriedigt, besitzt diese eine Schar von Doppelcharakteristiken, welche von einer willkürlichen Funktion abhängen. Für die Bestimmung aller Flächen $x = x (u, v)$, $y = y(u, v)$, $z= z(u, v)$ vom gegebenen Bogenelement $ds^2 =du^2+C^2 dv^2$ und die Untersuchung ihrer näheren (funktionentheoretischen) Eigenschaften kommt es in diesem Zusammenhang wesentlich auf die Behandlung der beiden Probleme an: \begin{itemize} \item[(1)] Bestimmung der Integrale von $(E_2)$, welche sämtliche Elemente einer Doppelcharakteristik dieser Gleichung enthalten (mit Beschränkung auf holomorphe Fälle). \item[(2)] Untersuchung der Funktionen $x (u, v)$, $y (u, v)$, wie sie sich aus der Relation $ds^2 - dz^2 = dx^2 + du^2$ ergeben, in der Nachbarschaft einer Linie $\varLambda$ der Parameterebene $(u, v)$, wenn $\varLambda$ einer Doppelcharakteristik $\frak M_1$ zugrunde liegt, deren sämtliche Elemente in einem holomorphen bekannten Integral $z (u, v)$ enthalten sind. \end{itemize} Zur Behandlung des ersten Problems verwendet Verf. für $C (u, v)$ die Entwicklung \[ C=1+C_1(v)u+C_2(v)u^2+\cdots+C_m(v)u^m+\cdots \tag{19} \] und ein Parameterkurvennetz, innerhalb dessen der Parameter $u$ längs der betrachteten Doppelcharakteristik verschwindet. Es ergeben sich sodann drei Fallunterscheidungen: \begin{itemize} \item[(1)] $C_1\neq0$; $C_2\neq0$; die Kurve $u = 0$ ist weder geodätisch noch verschwindet ihre Totalkrümmung (allgemeiner Fall). \item[(2)] $C_1\neq0$; $C_2=0$; die Kurve $u = 0$ ist nicht geodätisch, ihre Totalkrümmung verschwindet. \item[(3)] $C_1 = 0$; die Kurve $u = 0$ ist geodätisch. \end{itemize} Im Falle (1) gestattet eine geeignete Transformation, die Differentialgleichung auf eine Form zu bringen, für welche sich eine formale Potenzreihenentwicklung als Lösungsansatz empfiehlt. Da der Koeffizient des quadratischen Gliedes dieser Entwicklung (geordnet nach Potenzen von $u$) einer quadratischen Relation genügt, ergeben sich zwei Ansatzmöglichkeiten. Einem bekannten Integral $z (u, v)$ von $(E_2)$ kann man im allgemeinen zwei weitere Integrale $x (u, v)$ und $y (u, v)$ zuordnen, welche die Relation $dx^2 + dy^2 - dz^2 = du^2 + C^2dv^2$ erfüllen und von denen eines, $x (u, v)$, holomorph in einem gewissen Rechteck ist, während $y (u, v)$ die Gestalt $y =u^{\frac32}\psi(u, v)$ annimmt und nur für positive $u$-Werte reell ausfällt. Bei der Ableitung dieser Ergebnisse setzt Verf. zunächst die Konvergenz der Potenzreihenentwicklungen voraus. Der Konvergenzbeweis wird nachträglich geführt und bietet nicht unerhebliche Schwierigkeiten, da das Integral $u^{\frac32}\psi(u, v)$ sich in der Umgebung der Stelle $u=v=0$ nicht holomorph verhält. Von den geometrischen Anwendungen und Zusammenhängen des Falles (1) sei hervorgehoben: Ist eine Fläche $(\varSigma)$ vom Linienelement $ds^2 = du^2 + C^2dv^2$ gegeben, und ist $\varGamma$ Berührungskurve des ($\varSigma$) umgeschriebenen Zylinders, dessen Erzeugende Parallelen zu $\overline{Oz}$ sind, so verschwindet längs $\varGamma$ die Funktionaldeterminante $\dfrac{D(x,y)}{D(u,v)}$ und mit ihr auch der Ausdruck $C^2 (1 - p^2) - q^2$, so daß längs $\varGamma$ die Werte von $u$, $v$, $z$, $\dfrac{\partial z}{\partial u}$, $\dfrac{\partial z}{\partial v}$ eine Doppelcharakteristik von ($E_2$) bilden. Da die entsprechenden Umkehrungen ebenfalls zutreffen, wird man auf den Zusammenhang mit folgendem Problem geführt: Es ist eine Fläche ($\varSigma$) derart zu deformieren, daß eine gegebene Kurve ($\varGamma$) dieser Fläche in die Berührungskurve eines Zylinders übergeht, welcher der neuen Fläche umschrieben ist. Mit ähnlichen Methoden gewinnt Verf. im Falle (2) für die Funktionen $x (u, v)$ und $y (u, v)$ die Entwicklungen: \[ \begin{aligned}x(u,v)&=\alpha_0(v)+\alpha_1(v)u+\cdots+\alpha_n(v)u^n+\cdots,\\ y(u,v)&=u^{\tfrac{m+1}2}[\beta_0(v)+\beta_1(v)u+\cdots+\beta_n(v)u^n+\cdots]\quad (m\geqq3). \end{aligned}\tag{45} \] Geometrisch gelangt man dabei zu einer Fläche ($\varSigma$), deren Kurve $u = 0$ ebene Flächenkurve ($\varGamma$) ist vom gleichen Krümmungsradius wie die geodätischen Krümmungsradien der Kurven $u = 0$ auf allen Flächen vom gleichen Bogenelement. Die Fläche ($\varSigma$) zerfällt in zwei zur Kurvenebene von ($\varGamma$) symmetrisch gelegene Mäntel mit dieser Ebene als gemeinsamer Tangentialebene und ($\varGamma$) als Rückkehrkurve. Dabei ist $m$ als gerade vorausgesetzt. Für ungerade Werte von $m$ ist ($\varGamma$) nicht mehr Rückkehrkurve; überdies bestehen dann noch zwei Fallunterscheidungen, je nachdem $\dfrac{m+1}2$ gerade oder ungerade ausfällt. Bemerkenswerter erscheinen noch die geometrischen Ergebnisse im Falle (3). Auch hier benutzt Verf. ähnliche Methoden, ausgehend von der Reihenentwicklung für $C$, welche hier die Gestalt: \[ C=1+C_mu^m+C_{m+1}u^{m+1}+\cdots\qquad(m\geqq2) \tag{47} \] hat. Für die Funktionen $x$ und $y$ ergeben sich jetzt die Darstellungen: \[ x=\int_0^{u}a\cos\mu\,du;\quad y=\int_0^{u}a\sin\mu\,du;\quad \mu=a_0\log(|u|)+\frak{P}(u,v). \tag{60} \] Wegen der logarithmischen Singularität im Ausdruck für $\mu$ an der Stelle $u = 0$ wird (bei der bestehenden Koordinatenwahl) die $z$-Achse der Fläche ($\varSigma$) zu einer transzendenten Singularität. Insbesondere beschreibt der Punkt $(x, y, 0)$ auf der Fläche eine Spirale mit dem Nullpunkt als asymptotischem Punkt. Die Fläche ($\varSigma$) erscheint demnach als Spiralfläche mit der asymptotischen Windungsachse $\overline{Oz}$. Neben zahlreichen anderen Beziehungen ergeben sich aus diesen Resultaten auch Verallgemeinerungen bereits von {\it Petersen\/} gefundener Ergebnisse. Dabei liegen der Doppelcharakteristik, für welche $u = 0$, stets die Definitionsgleichungen \[ u = 0,\ p = \sin\omega;\quad q = \cos\omega;\quad r = v \cos\omega + z_0 \tag{48} \] mit dem speziellen Zusatz $\omega=0$ zugrunde. Nimmt man endlich $V'=\dfrac{\partial C}{\partial u}=0$, $V=\omega$ für $\omega\neq0$ an, und transformiert man vermöge $z = \cos\omega v + \sin\omega u+ Z$ die Gleichung (10), so sind für den Ansatz \[ Z=\varphi_{\nu}u^{\nu}+\varphi_{\nu+1}u^{\nu+1}+\cdots(\varphi_\nu\neq0) \tag{65} \] wiederum zwei Fälle zu unterscheiden: $\nu<m$ bzw. $\nu\geqq m$. Auch hier werden alle geometrischen Folgerungen diskutiert und in einem letzten Kapitel noch Fälle von räumlichen Rückkehrkurven behandelt, welche mit der Theorie der Integralflächen einer anderen Art von {\it Monge-Ampère\/}schen Gleichungen verknüpft sind. (V 6 B.)