Anwendung der Heaviside'schen Methode zur Integration der Wärmeleitungsgleichung. (Q1439756)

Die Gleichung der linearen Wärmeleitung \[ \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}= \frac1{a^2}\dfrac{\partial U}{\partial t} \] wird für \(0\leqq x<\infty\), \(t>0\) unter den Randbedingungen \[ \begin{aligned} &U=\rlap{0}\hphantom{\varphi(t)}\text{ für }t=0,\\ &U=\varphi(t)\text{ für }x=0 \end{aligned} \] nach der Methode integriert, die \textit{K. W. Wagner} und \textit{Bromwich} benutzt haben, um gewisse Regeln der \textit{Heaviside}schen Operatorenrechnung zu begründen. Sie stützt sich auf die bekannte Formel \[ \frac1{2\pi i}\int\frac{e^{tp}}p\,dp=0\text{ für }t<0,\;=1\text{ für }t>0, \] wo das Integral über die imaginäre Achse, mit einer Ausbiegung nach rechts um den Nullpunkt, zu erstrecken ist. Die Lösung wird in der Form angesetzt: \[ U(x,t)=\frac1{2\pi i}\displaystyle\int\limits_{0}^{b}\varphi'(\tau) \int\psi(x,p)\frac{e^{(t-\tau)p}}p\,dp\,d\tau, \] und \(\psi (x, p)\) wird so bestimmt, daß alle Bedingungen erfüllt sind. Dies ergibt: \[ U(x,t)=\frac1{2\pi i}\displaystyle\int\limits_{0}^{b}\varphi'(\tau) \int\frac{e^{(t-\tau)p-\tfrac{\sqrt p}ax}}p\,dp\,d\tau, \] was sich in die klassische Lösung umformen läßt. An dieser Ableitung lassen sich die Schritte, die die Operatorenmethode symbolisch vornimmt, effektiv deuten. Man sieht dabei, daß die symbolische Methode gewisser Vorsichtsmaßregeln bedarf. (IV 7.)