Sur la méthode de Legendre-Jacobi-Clebsch et quelques-unes de ses applications. (Q1439762)

Verf. will \(\liminf\dfrac{\int\limits_{a}^{b}\big(y^{(p)}\big)^2\,dx} {\int\limits_{a}^{b}\big(y^{(p-1)}\big)^2\,dx}\)berechnen, wobei \(y=y(x)\) und die \((p - 1)\,\)ersten Ableitungen \(y^{(\nu)}\) (\(\nu=1\),\dots, \(n\)) für \(a\) und \(b\) verschwinden, und will zugleich das allgemeine Prinzip der obgenannten Methode darlegen. Es sei \(f = f (x, y^{(0)},y^{(1)},\dots,y^{(n)})\) eine Funktion der voneinander unabhängigen Argumente \(x\) und \(y^{(\nu)}\) (\(\nu=0\), 1,\dots, \(n\)). Wenn die \(y^{(\nu)}\) Ableitungen von \(y= y (x)\) bezeichnen, \(y^{(0)} (x) = y (x)\), werden die Ausdrücke \[ F(f;y)=\sum\limits_{\nu=0}^{n}(-1)^\nu\frac{d^\nu\hfil}{dx^\nu}f_{y^{(\nu)}} \] und \[ \varOmega(f;u,v)=\sum\limits_{\nu=0}^{n}\sum\limits_{\mu=0}^{n} (-1)^\mu\left(u^{(\nu)}\frac{d^\mu\hfil}{dx^\mu}f_{v^{(\nu+\mu+1)}}v^{(\nu)}\frac{d^\mu\hfil}{dx^\mu}f_{u^{(\nu+\mu+1)}}\right) \] betrachtet, die in bezug auf \(f\) lineare Eigenschaften haben, z. B. \[ F(f+g;y)=F(f;y)+F(g;y). \] \(f\) soll eine \textit{quadratische Form} der \(y^{(\nu)}\) sein. Dann gilt: Wenn \(f\) die exakte Derivierte einer quadratischen Form \(g\) ist (man differenziere \(g(x,y^{(\nu)})\), die \(y^{(\nu)}\) als Ableitungen von \(y (x)\) betrachtet, und nehme die neuen \(y^{(\nu)}\) wieder als unabhängige Argumente), so ist \(F(f, y)\equiv0\) und \(\varOmega(f; u, v)\equiv 0\). Weiter ist identisch \[ \frac{d\hfil}{dx}[\varOmega (f; u, v)] = vF (f; u) - uF ( f ; v). \] Aus diesen Bemerkungen folgt bald: Wenn \(2m\geqq0\) die Ordnung der Differentialgleichung \(F(f; y)=0\) ist, gibt es immer \(m\) linear unabhängige Funktionen \(y_i\), die den Gleichungen \(F(f;y_i) =0\), \(\varOmega(f,y_i, y_k)= 0\) (\(i\), \(k=1\),\dots, \(m\)) genügen; mehr als \(m\) Funktionen, die diesen Gleichungen genügen, sind stets linear abhängig. \(f\) ist dann in der Form \(f = H + K\) darstellbar, wo \(H\) eine exakte Derivierte und \[ K=\tfrac12(-1)^mA(y^{(m)}+\lambda_{m-1}y^{(m-1)}+\cdots+\lambda_0y)^2 \] ist. Dabei ist \(A\) der Koeffizient von \(y^{(2m)}\) in \(F(f;y)\), und die \(\lambda_\varrho\) werden mit Hilfe der eben erwähnten \(y_i\) aus den Gleichungen \[ y_i^{(m)}+\lambda_{m-1}y_i^{(m-1)}+\cdots+\lambda_0y_i=0 \] bestimmt, vorausgesetzt, daß in \((a, b)\) stets die Determinante \(|y_i^{(\nu)}|\neq0\) ist. Nach dem Vorzeichen von \(A\neq 0\) in \((a, b)\) ist demgemäß \(\int\limits_{a}^{b}K\,dx\geqq0\) oder \(\leqq0\). Indem diese Entwicklungen für den Fall \(f = (y^{(p)})^2-(y^{(p-1)})^2\) näher durchgeführt werden, erhält man: Bei den anfangs genannten Grenzbedingungen gibt es eine Zahl \(\omega_p\), so daß \[ \int\limits_{a}^{b}(y^{(p)})^2\,dx\frac{\omega_p^2}{(b-a)^2} \int\limits_{a}^{b}(y^{(p-1)})^2\,dx\geqq0 \] ist. \(\omega_p\) ist der kleinste positive Wert von \(x\), der die Determinante \[ \varDelta=|y_i,y_i',\dots,y_i^{(p-1)}| \] zum Verschwinden bringt. Die \(y_i\) sind dabei \(p\) linear unabhängige Lösungen von \[ F(f;y) = y^{(2p)}+y^{(2p-2)}=0, \] die ebenso wie ihre \((p - 1)\) ersten Ableitungen für \(x = 0\) verschwinden. Das Gleichheitszeichen wird erreicht für \[ y=\sum\limits_{i=1}^{p}l_iy_i\left(\omega_p\frac{x-a}{b-a}\right), \] wo die \(l_i\) dem System \[ \sum\limits_{i=1}^{p}l_iy_i^{(\lambda)}(\omega_p)=0\qquad (\lambda=0,1,\dots,p-1) \] genügen. Es werden noch einige Abänderungen der Grenz- und Regularitätsbedingungen behandelt, die zu den bekannten Formeln des isoperimetrischen Problems führen.