An application of tensor analysis to the first variation of an integral. (Q1439764)

Verf. gibt verschiedene Anwendungen des Verfahrens der kovarianten Ableitung, das er der Geometrie \(n\)-stufiger Räume \(R_n\) von allgemeiner Maßbestimmung zugrunde gelegt hat (1925; F. d. M. 51, 574 (JFM 51.0574.*)). Indem er die Kurven \(x^\alpha (u)\), \(\alpha=1\),\dots, \(n\), in die Schar \(x^\alpha (u,v)\) von Nachbarkurven einbettet, \(x^\alpha (u,0)=x^\alpha (u)\), gewinnt er eine Formel für die erste Variation \(\delta t\) der ``Bogenlänge'' \[ t=\int\limits_{u_1}^{u_2}F\left(x,\frac{dx}{du}\right)\,du, \] aus der sich in der Sprechweise jener Geometrie folgende Ergebnisse ablesen lassen: Bei gewissen Variationen hängt \(\delta t\) nur von der Verrückung der Kurve in Richtung der Hauptnormale ab. \textit{Kneser}s Transversalensatz läßt sich auf eine einfach unendliche Schar von Kürzesten des \(R_n\)(\(n > 2\)) übertragen, die einen \(R_2\) einfach überdecken. Was bewegliche Endpunkte betrifft, so verschwindet \(\delta t\) bei einer Kurve \(\mathfrak K\), deren eines Ende festgehalten wird, während das zweite einem \(R_k\)(\(k < n\)) angehört, dann und nur dann, wenn \(\mathfrak K\) Kürzeste ist, die auf \(R_k\) senkrecht steht. (V 6 C.)