Über Anwendbarkeitskriterien für das Gesetz der großen Zahlen. (Q1439786)

Es sei \(x_1\), \(x_2\),\dots eine unendliche Reihe von unabhängigen Wahrscheinlichkeitsgrößen. Verf. stellt sich im Anschluß an eine frühere Arbeit (Recueil math. Moscou 32 (1925), 678-687; F. d. M. 51, 384 (JFM 51.0384.*)) die Aufgabe, ein notwendiges und hinreichendes, allein die ganzzahligen Momente verwendendes Kriterium anzugeben, das zu entscheiden erlaubt, ob auf die Reihe der erste Fundamentalsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung angewendet werden kann. Auf Grund eines Satzes von \textit{Slutzki} (Metron 5, Nr. 3 (1925), 3-89, Satz 3 auf S. 43; F. d. M. 51, 380 (JFM 51.0380.*)-381) ergibt sich als das gesuchte Kriterium \[ \lim_{n\to\infty}\sum\limits_{\varkappa=1}^{\infty} \frac{(-1)^\varkappa(2\varkappa)!}{\varkappa!n^{2\varkappa}} \sum_\alpha\frac{M_1^{(\alpha_1)}M_2^{(\alpha_2)}\dots M_n^{(\alpha_n)}} {\alpha_1!\alpha_2!\dots\alpha_n!}=0\quad (\alpha_\nu>0,\sum\limits_{\nu=1}^{n}\alpha_\nu=2). \]