Sur un théorème limite du calcul des probabilités. (Q1439802)

Verf. verallgemeinert eine Reihe von Sätzen von \textit{P. Lévy} (vgl. Calcul des probabilités, 1925; F. d. M. 51, 380 (JFM 51.0380.*)) mit Hilfe der Methode der charakteristischen Funktionen. Von großer Bedeutung sind die beiden folgenden Sätze: (1) Es seien \(\varphi (t, \vartheta, \lambda)\) und \(\varPhi (t, \vartheta)\) zwei charakteristische Funktionen der Wahrscheinlichkeitsfunktionen \(f (x, y, \lambda)\) und \(F (x, y)\). Unter der Annahme, daß \[ \lim_{\lambda\to\lambda_0} \varphi(t,0,\lambda)=\varPhi(t) \] gleichmäßig existiert, gilt \[ \lim_{\lambda\to\lambda_0} f(x, y,\lambda_0) = F(x,y). \] (Vgl. den Satz auf S. 197 des Buches von \textit{Lévy}.) (2) \( x\) und \(y\) seien zwei Variable mit der Verteilungsfunktion \(f (x, y, \lambda)\), wobei \(\lambda\to\lambda_0\). \( F (x, y)\) sei ein anderes Verteilungsgesetz von \(x\) und \(y\). Es mögen ferner sämtliche Momente von \(f (x, y, \lambda)\) und \(F (x, y)\) existieren und mit \(m_{h,k}\) und \(M_{h, k}\) bezeichnet werden. Falls nun \[ \lim_{\lambda\to\lambda_0} m_{h,k} = M_{h,k}\quad\text{und}\quad \lim_{h+k\to\infty} \root\textstyle h+k \of {\dfrac{|M_{h,k}|}{h!\,k!}}\quad \text{existiert,} \] so gilt \[ \lim_{\lambda\to\lambda_0} f (x, y, \lambda) = F(x,y). \] Dies ist eine Verallgemeinerung des \textit{Pólya}schen Satzes (M. Z. 8 (1920), 171-181; F. d. M. 47, 484 (JFM 47.0484.*)-485).