Über den stationären, progressiven und degressiven Zustand von Personengesamtheiten. (Q1439916)

Im Anschluß an \textit{v. Bortkiewicz}sche Begriffsbildungen werden die in der Überschrift genannten Zustände eingeführt und untersucht für Personengesamtheiten, deren Abgangswahrscheinlichkeiten als invariant gegenüber der Zeit und als zunehmend mit steigendem Alter vorausgesetzt werden, bei denen ferner Eintritte von außen her nur im jüngsten vorkommenden Alter \(i\) erfolgen. Mit \(a_1\) wird in einem bestimmten Kalenderjahr die Anzahl der Personen bezeichnet, welche in die Gesamtheit eintreten; mit \(a_2\), \(a_3\),~\(\ldots\) die Anzahl der vorhandenen, jeweils um 1, 2,~\(\ldots\) Jahre älteren Teilgesamtheiten; mit \(p_1\), \(q_1\), bzw. \(p_2\), \(q_2\),~\(\ldots\) die Überbleibens- und Abgangswahrscheinlichkeiten für die Personen dieser Teilgesamtheiten. Nach dem oben Bemerkten wird also \(q_1<q_2<\cdots\) und zeitliche Invarianz dieser Größen vorausgesetzt. Wird unter \(\omega - 1\) die höchste Verbleibsdauer verstanden, und sind die Bestandszahlen der Gesamtheit \[ \begin{multlined} a_1=c+\alpha_1,\quad a_2=cp_1+\alpha_2,\;\ldots,\quad a_\omega=cp_1p_2\ldots p_{\omega-1} +\alpha_\omega,\\ \text{wo}\quad \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_\omega=0, \end{multlined} \] \halign{\tabskip2pt#\hfil&#\hfil&#\hfil&#\hfil\cr so heißt der Zustand &stationär, &wenn &\(\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_\omega=0\),\cr &progressiv, &wenn &\(\alpha_1 > \alpha_2 > \cdots > \alpha_\omega\),\cr &degressiv, &wenn &\(\alpha_1 < \alpha_2 < \cdots < \alpha_\omega\) ist.\cr} \vskip0.6ex \noindent Es wird das mittlere Zugehörigkeitsalter der Abgehenden, die Abgangsziffer, die Zugangsziffer und die mittlere Zugehörigkeitsdauer eingeführt und eine Reihe von Sätzen hergeleitet, welche diese Größen sowie die Abgangs- und Zugangszahl selbst bei den verschiedenen Zuständen der Personengesamtheiten miteinander vergleichen. Weiter wird gezeigt: Erfährt eine im progressiven (degressiven) Zustande befindliche Personengesamtheit konstanten Zugang, so geht sie unter ununterbrochenem Steigen (Fallen) der Abgangszahl nach \(\omega - 1\) Jahren in den stationären Zustand über. Wird dagegen vorausgesetzt, daß -- abweichend von den eingangs eingeführten Bedingungen -- die Abgangswahrscheinlichkeit für alle Altersklassen einer beliebigen Personengesamtheit die gleiche und überdies zeitlich invariant sei, daß ferner der Gesamtumfang der Personengesamtheit konstant bleibe, so beschreiben die Abgangszahlen eine Art ``gedämpfte Wellenkurve''. Der stationäre Zustand wird theoretisch erst nach unendlich langer Zeit erreicht.