Über die graphische Integration der Differentialgleichungen zweiter Ordnung. (Q1440002)

Die drei bekannten Methoden von \textit{C. Runge} zur graphischen Integration der Differentialgleichungen zweiter Ordnung bedürfen der Auflösung der Gleichung in bezug auf \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) und sind unbequem, wenn der Krümmungsradius der Integralkurve groß ist. Die Methode des Verf. ist, wie es scheint, ganz neu. Um die Idee der Methode zu erklären, nehme man an, daß \(f(x,y,y',y'') = 0\) die gegebene Gleichung ist. Man schreibe sie in der Form \(f (x, y, z, \alpha) = 0\), wo \(z=y'\), \(\alpha= y''\) ist, und betrachte sie als Gleichung einer Flächenschar, bezogen auf ein rechtwinkliges System von Koordinatenachsen. Wenn man auf der Fläche vom Parameter \(\alpha_1\) einen Punkt \(M_1\) nimmt und von diesem Punkt aus eine Kurve zieht, deren Projektionen auf die Ebenen \(XOZ\) und \(YOZ\) resp. \(\alpha_1\) und \(\dfrac{\alpha_1}{z_1}=\left(\dfrac{dz}{dy}\right)\) als Winkelkoeffizienten der Tangenten haben, dann wird die Projektion dieser Kurve auf die Ebene \(XOY\) ein partikuläres Integral der Gleichung bestimmen. Verf. gibt ein Verfahren, um alle diese Konstruktionen zu erfüllen. Die Fälle der Gleichungen \(f (x, y', y'') = 0\), \(f (y, y', y'') = 0\), \(f (x, y, y'') = 0\), \(f (x, y'') = 0\), \(f(y, y'') = 0\) und \(f(y',y'') = 0\) werden besonders betrachtet. Die Methode wird durch einige Beispiele illustriert.