An introduction to the geometry of \(n\) dimensions. (Q1440025)

Die vorliegende Einführung in die mehrdimensionale Geometrie beginnt nicht mit dem Formelapparat der \(n\)-dimensionalen analytischen Geometrie. Es wird vielmehr im Anschluß an die Geometrie des dreidimensionalen Raumes die Geometrie der linearen Gebilde im \(n\)-dimensionalen Raum entwickelt, ohne daß dabei vom Koordinatenbegriff Gebrauch gemacht wird. Dann erst wird die analytische Geometrie des \(n\)-dimensionalen Raumes vom projektiven und metrischen Standpunkt aus behandelt. Durch diese Anordnung wird der geometrische Inhalt der Begriffsbildungen gegenüber dem rein Rechnerischen stark hervorgehoben, und sicherlich hat dieser Umstand wesentlich dazu beigetragen, daß eine gut lesbare Darstellung der \(n\)-dimensionalen Geometrie entstanden ist. Vollständigkeit hat Verf. bei dieser Einführung nicht angestrebt (so wird z. B. die Differentialgeometrie ganz beiseite gelassen); er begnügt sich damit, als Anwendungen einige Fragen aus der Theorie der Polytope gründlich zu behandeln, die wohl geeignet erscheinen, den Gegenstand des Buches dem Verständnis und Interesse des Lesers nahe zu bringen. In Kap.~I (Fundamental ideas) behandelt Verf., anknüpfend an die \textit{Hilbert}schen Inzidenzaxiome mit einer der projektiven Geometrie entsprechenden Abänderung, die Inzidenzeigenschaften niederdimensionaler Räume im \(n\)-dimensionalen Raum. In diesem Zusammenhang geht er auch kurz auf die Methoden der abzählenden Geometrie ein. In Kap.~II (Parallels) wird der (euklidische) \(n\)-dimensionale Raum durch Einführung uneigentlicher Elemente erweitert, und die verschiedenen Arten des Parallelismus niederdimensionaler Räume werden nach der Dimensionszahl des uneigentlichen Schnittgebildes klassifiziert. In ähnlicher Weise werden in Kap.~III (Perpendicularity) unter Benutzung des Fundamentalgebildes der euklidischen Geometrie die Orthogonalitätseigenschaften untersucht. Kap.~IV (Distances and angles between flat spaces) handelt von Abständen und Winkeln der niederdimensionalen Räume, ferner von Projektionen solcher Räume aufeinander. Kap.~V (Analytical geometry: projective) und VI (Analytical geometry: metrical) enthalten die Grundzüge der analytischen Geometrie des \(n\)-dimensionalen Raumes vom projektiven und metrischen Standpunkt; die allgemeinen Erörterungen des Kap.~V führen bis zu den Haupteigenschaften der algebraischen Mannigfaltigkeiten; die Hyperflächen zweiten Grades werden ausführlicher behandelt. Kap.~VI enthält u.~a. einiges über die \textit{Plücker-Grassmann}schen Koordinaten und die Liniengeometrie. Damit ist die allgemeine Einführung abgeschlossen. Die folgenden Kapitel handeln von den Polytopen im \(n\)-dimensionalen Raum. In Kap.~VII (Polytopes) werden zur Beschreibung des Aufbaus eines Polytops gewisse ``Konfigurationszahlen'' eingeführt, die die Inzidenzeigenschaften der Begrenzungen wiedergeben; ferner wird der Prozeß des Schneidens eines Polytops mit einer \((n-1)\)-dimensionalen Hyperebene behandelt. Natürlich geht Verf. in diesem Kapitel auf eine Reihe spezieller Polytope näher ein. Kap.~VIII (Mensuration. Content) enthält Volumen- und Oberflächenberechnungen, übrigens nicht nur für Polytope, sondern auch für die Hypersphäre und Rotationskörper. Die \textit{Euler}sche Polyederformel und ihre mehrdimensionale Verallgemeinerung bildet den Gegenstand von Kap.~IX (Euler's theorem); ferner wird hier die Messung der räumlichen Winkel behandelt und eine Relation zwischen den Winkelsummen der verschiedenen Dimensionen abgeleitet. Kap.~X (The regular polytopes) bringt dann die Theorie der regulären Polytope und der regulären Zelleneinteilungen des Raumes. Am Schlusse jedes Kapitels gibt Verf. Hinweise teils auf die Originalliteratur, teils auf ausführlichere zusammenfassende Darstellungen. (V~2, 5~A.) Besprechungen: S.~M.~G.; Bulletin Calcutta M. S. 22 (1930), 153-155. H.~T.~Piaggio; Nature 125 (1930), 266-267. V.~Snyder; Bulletin A.~M.~S. 36 (1930), 789.