Einleitung in die allgemeine Kongruenzlehre. I, II. (Q1440042)

Verf. behandelt das ``allgemeine Kongruenzproblem'' der ebenen Geometrie, d.~h. das Problem, alle die Geometrien zu untersuchen, die eine Kongruenzlehre gestatten, wobei sowohl auf die Anordnungs-, Parallelen- und Stetigkeitsaxiome, als auch auf das ``Eindeutigkeitsaxiom'' (Axiom der eindeutigen Bestimmtheit der Geraden durch zwei Punkte) verzichtet wird. Die vorliegende Arbeit stellt eine Fortführung und teilweise Neubearbeitung früherer Untersuchungen des Verf. dar (1907; F.~d.~M. 38, 504-505); wesentlich neu ist hier der Fortfall der Anordnungsaxiome. Das an der Spitze der ersten Mitteilung stehende Axiomensystem I-V umfaßt ausschließlich auf die Ebene bezügliche Axiome und fordert die Existenz von Punkten, Geraden, Bewegungen, ferner einiges über Spiegelungen an einer Geraden und das Senkrechtstehen zweier Geraden. Mit Hilfe der Theorie der Spiegelungen werden folgende Resultate gewonnen: Zwei Punkte haben immer einen eindeutig bestimmten Mittelpunkt unabhängig davon, ob sie eine, mehrere oder keine Verbindungsgerade haben. Bei Hinzunahme der Axiome der Anordnung und des archimedischen (eudoxischen) Axioms zum obengenannten System I-V folgt das Eindeutigkeitsaxiom als beweisbarer Satz. Unter der Annahme, daß zwei Geraden mit mehr als einem gemeinsamen Punkt existieren, folgt aus dem System I-V die Existenz von Rechtecken. Es werden ferner Sätze über die Mittellinien und Höhen eines Dreiecks in der allgemeinen Form der vorliegenden Kongruenzlehre abgeleitet und endlich die Fixpunkte der Bewegungen untersucht. Die zweite Mitteilung bringt nach einigen allgemeinen Sätzen über Geradenbüschel die Entwicklung der Kongruenzlehre in dem Falle, daß zu den Axiomen I-V noch das Eindeutigkeitsaxiom hinzukommt; dieser Abschnitt hängt besonders eng mit der vorhin zitierten Abhandlung des Verf. zusammen. Es folgen einige grundsätzliche Bemerkungen über die Unabhängigkeit der Anordnungsaxiome von der Kongruenzlehre, sowie über das Eindeutigkeitsaxiom. Verf. kündigt zum Schluß eine weitere Mitteilung über die allgemeine Kongruenzlehre an, welche den Fall behandeln soll, daß sowohl Punktepaare mit einer eindeutig bestimmten Verbindungsgeraden als auch Punktepaare mit mehreren Verbindungsgeraden vorkommen.