Über die topologische Erweiterung von Räumen. (Q1440054)

Ist \(\tau\) eine Kardinalzahl, so bedeute \(R_\tau\) den folgenden (im \textit{Hausdorff}schen Sinne) topologischen Raum: Jeder Ordnungszahl \(\alpha< \omega_\tau\) (\(\omega_\tau\) kleinste Ordnungszahl der Mächtigkeit \(\tau\)) sei ein Exemplar \(\mathfrak I_\alpha\) der abgeschlossenen Einheitsstrecke \(0\leqq t_\alpha\leqq 1\) zugeordnet; Punkt von \(R_\tau\) soll jedes System \(x=(t_1,t_2,\ldots,t_\alpha, \ldots)\) sein; Umgebung eines Punktes \(x_0\) ist jede Menge von Punkten \(x\), für die endlich viele Koordinaten \(t_{\alpha_1},t_{\alpha_2},\ldots,t_{\alpha_k}\) auf Umgebungen (im Sinne von \(\mathfrak I_\alpha\)) der entsprechenden Koordinaten von \(t_{\alpha_k}\) beschränkt und die übrigen \(t_\alpha\) beliebig sind. Der Raum \(R_\tau\) ist bikompakt. Für \(\tau=\aleph_0\) ist \(R_\tau\) dem Fundamentalquader des \textit{Hilbert}schen Raums homöomorph. Verf. zeigt nun, daß jeder normale topologische Raum, der ein Umgebungssystem von einer Mächtigkeit \({}\leqq\tau\) besitzt, einer Teilmenge des \(R_\tau\) homöomorph ist. Zum Beweis führt Verf. den Begriff des \textit{vollständig regulären} topologischen Raumes ein: So heißt ein Raum \(R\), wenn es zu jedem Punkt \(x_0\) und jeder \(x_0\) nicht enthaltenden abgeschlossenen Menge \(A\) eine in ganz \(R\) stetige Funktion \(f(x)\), \(0\leqq f(x)\leqq 1\), gibt, so daß \(f(x_0)=0\), \(f(a)=1\) für alle \(a\in A\) gilt. Es wird dann gezeigt: Jede Teilmenge eines bikompakten Raumes -- also insbesondere jede Teilmenge von \(R_\tau\) -- ist vollständig regulär, und jeder vollständig reguläre Raum, der ein Umgebungssystem von der Mächtigkeit \(\tau\) besitzt, ist einer Teilmenge des \(R_\tau\) homöomorph. Zum Begriff des vollständig regulären Raumes ist zu bemerken: Jeder normale Raum ist vollständig regulär, und jeder vollständig reguläre Raum ist regulär; keine dieser beiden Aussagen ist umkehrbar, wie durch Beispiele gezeigt wird. Übrigens liefert eines der Beispiele eine negative Antwort auf die von \textit{Alexandroff} und \textit{Urysohn} (Math. Ann. 92 (1924), 258-266; F.~d.~M. 50, 128) aufgeworfene Frage, ob jeder reguläre nicht absolut abgeschlossene Raum durch Hinzufügen eines nicht isolierten Punktes zu einem ebenfalls regulären Raum erweitert werden könne. Unter Heranziehung einer Zerlegung des \(R_\tau\) (im Sinne von \textit{Alexandroff}, Math. Ann. 96 (1926), 555-571, \S~3; F.~d.~M. 52) zeigt Verf. schließlich: Jeder topologische Raum \(R\) ist einer Teilmenge eines absolut abgeschlossenen Raumes homöomorph, der ein Umgebungssystem von der gleichen Mächtigkeit wie ein gegebenes Umgebungssystem von \(R\) besitzt; dieser absolut abgeschlossene Raum wird als ein durch eine Zerlegung des \(R_\tau\) bestimmter Raum hergestellt.