Über abstrakte Topologie. I, II. (Q1440055)

Die Arbeit ist eine axiomatische Darstellung der kombinatorischen Topologie der endlichen Komplexe; das Wort ``abstrakt'' deutet an, daß man sich die Komplexe nicht durch geometrische Gebilde zu realisieren braucht. Ein Komplex als Inbegriff seiner Ecken, Seiten usw. wird als ``Ring'' bezeichnet, während der Name ``Komplex'' den sogenannten ``algebraischen'' Komplexen vorbehalten bleibt, d.~h. den Linearformen gewisser Basiselemente; unter diesen letzten darf man sich Zellen oder Simplexe vorstellen, was aber nicht wesentlich ist. Die Methode ist gruppentheoretisch: Die von den Komplexen, Zyklen, Homologieklassen gebildeten abelschen Gruppen werden untersucht. Von den sechs Axiomen sprechen die ersten drei einfache algebraische Eigenschaften der Komplexgruppen aus; die letzten drei beziehen sich auf die für die kombinatorische Topologie grundlegende Operation: die Bildung des Randes. Im ersten Abschnitt werden die Invarianten (\textit{Betti}sche Zahlen usw.), im zweiten Unterringe und ihre Komplemente, im dritten wird das Problem der Unterteilung eines gegebenen Ringes behandelt, oder vielmehr das inverse Problem: Unter welchen Umständen darf man gewisse Komplexe eines Ringes zu einem Komplex vereinigen, ohne die Homologiegruppen zu ändern? Der vierte Abschnitt enthält die wichtigen Relationen, die man heute zuweilen als ''Additionssätze'' bezeichnet, und die hier wohl zum erstenmal ausgesprochen und bewiesen sind (wenn auch bereits der Kern von \textit{Alexander}s Beweis des \textit{Jordan-Brouwer}schen Satzes aus solchen Sätzen besteht): Sie stellen den Zusammenhang zwischen den Homologiegruppen zweier Ringe \(\varSigma_1\), \(\varSigma_2\) und denen von \(\varSigma_1+\varSigma_2\) her. Im ersten Abschnitt des Teiles~II werden die Beziehungen zwischen den Zyklen eines Unterringes \(\varSigma_1^n\) eines Ringes \(\varSigma^n\) und den Komplexen von \(\varSigma^n\), deren Ränder auf \(\varSigma_1^n\) liegen, (also den von \textit{Lefschetz} ``Relativzyklen mod \(\varSigma_1^n\) ``genannten) untersucht, und zwar für den Fall, daß in \(\varSigma^n\) jeder \(r\)-dimensionale Zyklus mit \(r<n\) homolog Null ist. Der zweite Abschnitt behandelt die simplizialen Ringe und bringt einen Beweis einer Verallgemeinerung des \textit{Poincaré}schen Dualitätssatzes für Mannigfaltigkeiten.