The axiomatization of set theory. (Q1440059)

Verf. hat in [J. Reine Angew. Math. 154, 219--240 (1925); Berichtigung 155, 128 (1925; JFM 51.0163.04)] ein Axiomensystem für die allgemeine Mengenlehre angegeben und in grundsätzlicher Richtung naher untersucht, das von den vorhandenen Axiomensystemen wesentlich abweicht. Aus diesem Axiomensystem die Hauptresultate der allgemeinen Mengenlehre wirklich herzuleiten, ist der Zweck der vorliegenden Arbeit. Im ersten Kapitel werden die Axiome formuliert und ihrer Bedeutung nach analysiert. Auf eine sorgfältige, verhältnismäßig tiefliegende Herleitung der grundlegenden Operationen und Begriffsbildungen in den Kapiteln II und III folgt eine Theorie der Ordnung und der Wohlordnung sowie die Einführung der -- hier als Haupthilfsmittel der allgemeinen Mengenlehre erscheinenden -- Ordnungszahlen als gewisser spezieller Mengen; deren Existenz ist gesichert durch ein sehr kräftiges Axiom (IV 2), welches in der üblichen Ausdrucksweise die Axiome der Aussonderung, der Auswahl und der Ersetzung in sich vereint. Das folgende Kap. VI benutzt die hergeleiteten Ergebnisse zu einem Beweis des Wohlordnungssatzes, der von den üblichen völlig abweicht und sich ganz auf die Eigenart des Axiomensystems gründet. Erst jetzt folgen in den Kapiteln VII und VIII die Theorien der Äquivalenz und speziell der endlichen Mengen; die finite Induktion wird nicht vorausgesetzt, sondern auf Grund der Axiomatik eingeführt. Diese von der üblichen Art abweichende Voranstellung der Ähnlichkeit vor die Äquivalenz bietet u. a. den Vorteil, die Theorie der Äquivalenz ohne Unterbrechung durch den Wohlordnungssatz in einem Zug durchzuführen. Der Äquivalenzsatz ergibt sich hierbei als Folge eines Theorems über Ordnungszahlen. Den Schluß macht ein der transfiniten Induktion gewidmetes Kapitel, das auch den Spezialfall der gewöhnlichen Induktion behandelt. Es handelt sich wesentlich um die Definition durch Induktion, deren Durchführung auf axiomatischer Grundlage ein ganz neues Problem ist, die aber auch vom naiven Standpunkt aus einer (ihr bisher im wesentlichen fehlenden) exakten Begründung bedarf (vom Verf. schon gegeben in [Acta Szeged 1, 199--208, (1923; JFM 49.0139.02)]). Diese neuartige Axiomatisierung der Mengenlehre bietet, so ungewohnt sie auch zunächst anmutet, u. a. den gerade vom naiven Gesichtspunkt aus bedeutsamen Vorteil, daß\ der Prozeß\ der Mengenbildung nicht mehr durch willkürliche Prizipien sondern sozusagen naturgemäß\ (nämlich so wenig als möglich) eingeschränkt wird: (I 2.)